310 - Rampa discendente seguita da anello della morte

[Higgs]

Una macchina scivola senza attrito giù per una rampa liscia discendente descritta da una funzione h(x) decrescente rispetto all'ascissa x compresa fra 0 ed L. La rampa discendente termina per x=L ed è seguita senza discontinuità da un anello della morte liscio di raggio R su cui la macchina prosegue la sua corsa ora ascendente. L'accelerazione di gravità è g diretta verso il basso e perpendicolare all'asse x. La macchina parte da ferma dalla quota h(0)=.
a) Determinare la quota minima per cui la macchina percorre l'anello senza mai staccarsene
b) Considerata la rampa discendente con determinare la componente della velocità della macchina lungo l'asse x , cioè , in funzione di h(x) e h'(x).

PS mi piacerebbe riportare una figura in qualche testo; c'è un modo semplice per farlo?

[Torros]

Per la prima richiesta il risultato mi viene ; se confermi procedo alla giustificazione.
Per il secondo punto ho bisogno di una precisazione. Dire:

in funzione di h(x) e h'(x).

Significa conoscere e in ogni punto (e dunque la posizione iniziale della particella, data da e l'inclinazione della retta tangente alla curva in ogni punto), ma non conoscere velocità iniziale del corpo? Grazie

[Francesco Leccese]

Confermo il risultato di Torros per il primo punto.
Forse ho trovato la soluzione del secondo.
Se mi date il via libero la scrivo, altrimenti lascio fare a Torros

[Higgs]

a Torros: il risultato è corretto. Per il resto la velocità iniziale è nota perché il testo dice che parte da ferma.
a Leccese: non so come la pensi Pigkappa ma per quanto ne so tu non hai bisogno di nessuna autorizzazione perché nessuno ha impedito a Torros di postare la sua soluzione del secondo quesito

[Francesco Leccese]

Primo punto.
Sulla macchina agiscono sempre la forza peso, la forza centrifuga e la reazione vincolare. Nel punto più alto del percorso, forza peso e forza centrifuga hanno versi opposti e perché la macchina rimanga attaccata al terreno si deve avere

e quindi

Da cui si risolve per , ovvero la velocità nel punto più alto:

L'energia in questa situazione è:

Questa, per la conservazione dell'energia, deve essere la stessa della situazione iniziale, dove la quota è e la velocità nulla:

Uguagliando le due espressioni si ricava


Secondo punto
La velocità può essere come sempre scomposta in due componenti:

Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene:

Ora divido per :

Ora, è , mentre è .
Riscrivendo:

Per trovare , facciamo di nuovo delle considerazioni energetiche. L'energia totale del sistema è conservata e vale:

come nel primo punto.
Per una ascissa generica, invece, abbiamo:

Uguagliando le due espressioni e risolvendo per otteniamo:

Sostituendo nell'equazione trovata prima, concludiamo che



Proviamola su due casi particolari:
1) se , ovviamente troviamo , in quanto la velocità iniziale era nulla per ipotesi.
2) se , per come abbiamo impostato il problema, dovrebbe essere e , in quando la curva subito prima del giro della morte è piana; di conseguenza , ovvero l'intera velocità della macchina è diretta lungo l'asse delle ascisse.

Il risultato trovato dovrebbe potersi estendere anche al caso in cui la velocità iniziale sia diversa da zero.

[Torros]

Per il resto la velocità iniziale è nota perché il testo dice che parte da ferma.

Ah, perfetto. Ho provato il secondo punto dopo un po' di tempo e mi ero completamente dimenticato della frase che specifica le condizioni iniziali .

a Leccese: non so come la pensi Pigkappa ma per quanto ne so tu non hai bisogno di nessuna autorizzazione perché nessuno ha impedito a Torros di postare la sua soluzione del secondo quesito

Assolutamente. Ho creato problemi io scrivendo la soluzione del primo. Avrei prima dovuto chiedere le informazioni sul secondo quesito e successivamente postare la soluzione completa. Mi scuso con Leccese che aveva trovato la soluzione per primo e lo invito dunque a postare anche la soluzione del primo punto per essere completamente legittimato a prendere il testimone.

[Francesco Leccese]

Perfetto, allora modifico il messaggio e scrivo anche il primo punto, così è tutto insieme.

[Francesco Leccese]

Ho modificato.
Aspettiamo conferma da Higgs.

[Higgs]

Il tuo risultato Leccese è ora completo e corretto A te la staffetta|