305. Rombi stiracchiati

[Pigkappa]

Componendo opportunamente delle stecche di legno attraverso le quali vengono piantati dei chiodi, si costruisce la struttura in figura. La struttura e' composta da tre rombi, attaccati al muro a sinistra, e incernierati nei punti . I lati dei tre rombi sono rispettivamente . Il punto viene tirato con velocita' costante orizzontale.

1.) Nel momento in cui tutti gli angoli dei rombi sono di 90 gradi, quanto vale il modulo della velocita' di ?
2.) Nel momento in cui tutti gli angoli dei rombi sono di 90 gradi, quanto vale il modulo della accelerazione di ?
3.) Se hai usato le derivate nella soluzione dei punti precedenti, dimostra i tuoi risultati senza usarle.

[Giulio]

Chiamo l'angolo in . Allora:





...

Poiché , si ha che
, costante
, ottenuto tramite l'espressione trovata in precedenza per .
Il rombo è un quadrato quando , quindi nell'istante di tempo richiesto dal problema.
Di conseguenza

L'accelerazione del punto è verticale, in quanto la sua velocità orizzontale è costante.

Di conseguenza nell'istante di tempo richiesto dal problema vale .

Per farlo senza derivate direi che si può sfruttare il fatto che, essendo , il punto compie un moto ellittico (la sua traiettoria è la dilatazione di una circonferenza). Quindi anche la sua velocità sarà dilatata rispetto a quella di un moto circolare.
Quando , in un moto circolare di raggio la velocità verticale è uguale a quella orizzontale in modulo; se quindi dilatiamo di un fattore 2 l'asse x, la velocità in una direzione resterà quella e nell'altra raddoppierà. Sommiamo in quadratura le velocità e otteniamo che la velocità dopo la dilatazione vale , dove è la velocità verticale, uguale alla velocità prima della dilatazione. Resta da determinare la velocità prima della dilatazione, ovvero la velocità in un moto circolare di raggio . La posizione orizzontale del punto è direttamente proporzionale alla posizione orizzontale del punto che si muove a velocità costante , perciò anche tra le velocità ci sarà lo stesso rapporto. In particolare la velocità orizzontale (quindi già dilatata) del punto vale . Quindi e quindi , che è lo stesso risultato di prima.
Ragioniamo in modo del tutto analogo per l'accelerazione. La velocità orizzontale è costante, quindi l'accelerazione è verticale. Possiamo calcolare l'accelerazione centripeta come se il moto fosse avesse una velocità angolare costante e considerare la sola componente verticale. In particolare si ha che il raggio del moto circolare è (la componente verticale infatti non è dilatata) e la velocità del moto è . Nell'istante di tempo iniziale, infatti, la velocità tangenziale coincide con la velocità orizzontale, che abbiamo dimostrato essere costante e valere proprio . Quindi .

[Pigkappa]

Penso sia tutto giusto, bello il metodo dell'ellisse trasformata in cerchio, ma potresti spiegare meglio la parte finale sulla accelerazione? Rispetto a che punto vedi il moto come circolare, perché conta solo la velocità orizzontale...

[Giulio]

Il moto è circolare rispetto all'origine degli assi, che è il punto in cui il rombo più piccolo a sinistra è vincolato al supporto fisso. Conta solo la velocità orizzontale in quanto è la velocità che ha il moto circolare nell'istante di tempo iniziale (e qui stiamo trattando il moto come se fosse uniforme per calcolare l'accelerazione centripeta; ovviamente il moto non è circolare uniforme e l'accelerazione non è centripeta).

Spiegatemi però per favore come funziona questa cosa della staffetta che la scopro ora... Devo pubblicare un problema nei prossimi giorni e numerarlo 306?

[Pigkappa]

Si'! Hai tu la staffetta