Palline nello spazio

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Due pianeti identici, di raggio , distano fra loro . Su uno di questi pianeti palline, con massa (chiamando 1 la pallina più bassa, 2 quella sopra, e così via), sono poste in modo che i baricentri di tutte le palline si trovano sulla congiungente dei centri dei due pianeti, e inizialmente sono in contatto una sopra l'altra. La pallina più bassa viene lasciata da un metro d'altezza dalla superficie del pianeta. Supponendo che tutti gli urti siano elastici, e che le dimensioni delle palline siano trascurabili, determinare il minimo in modo tale che almeno una arrivi sull'altro pianeta.

Buon lavoro!

[Hope]

Nessuno ha voglia di farlo?ho poco tempo...Proviamo a sgrezzare il problema introducendo alcuni concetti
allora l'energia iniziale è supponendo che l 'urto sia elastico tutta l'energia potenziale si trasforma in energia cinetica.affinche almeno una pallina riesca ad arrivare sull altro pianeta deve superare anche arrivando con velocità nulla il centro di massa tra i 2 pianeti . per quanto riguardo quando tocca il pianeta 1.
poi quando arriva al centro di massa per comodità mettiamo l'energia cinetica =0 e calcoliamo l'energia potenziale nel punto x considerato il centro di massa.
Questo per quanto concerne l'aspetto concettuale.

[spn]

l'energia iniziale è m_nghsupponendo che l 'urto sia elastico tutta l'energia potenziale si trasforma in energia cinetica.

Occhio che l'energia cinetica dell'n-esima pallina dopo il rimbalzo non è quella, infatti l'energia che si conserva è dell'intero sistema, non di ogni singola pallina. E poi chi te dice che la sia la stessa di quella terrestre ? Inoltre, per il fatto che i due pianeti sono identici, la posizione del centro di massa è immediata...

[Hope]

giusto è vero perche intervengono due forze gravitazionali
la nuova gravità g'è

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Visto che ormai è passata più di una settimana e nessuno se lo fila, posto la mia soluzione.

Essendo i due pianeti identici, basta che una pallina arrivi a metà della distanza fra i due con una velocità nonnulla, e necessariamente finirà sull'altro pianeta. Pongo . Per la conservazione dell'energia si ha:



Ma per le approssimazioni iniziali . Percui:

(il che vuol dire che se la distanza tra i pianeti è molto grande, la velocità necessaria per arrivare sull'altro si avvicina a quella di fuga).
Ora poiche e , l'accelerazione gravitazionale agente sulle palline si può considerare costante e pari a:

Percui, sempre dalla conservazione dell'energia, si ricava la velocità che ogni pallina ha prima del rimbalzo:

Mi pongo in un sistema solidale con le palline appena prima il rimbalzo: le palline mi sembrano tutte ferme. Dopo il rimbalzo la pallina più bassa andrà contro la seconda con velocità . Per l'urto elastico si ha che la velocità dell' n-esima pallina è:

ma essendo allora . Da ciò si ricava che . Ma nel sistema di riferimento dei due pianeti la sua velocità è
.

Uguagliando le due velocità si ha che: