Un pendolo non convenzionale... Senigallia '01

[Stardust]

Questo è il testo (un po' modificato) del 3° problema assegnato nel corso della gara nazionale di Senigallia nel 2001.
Una pallina di massa M è legata tramite un filo inestensibile e flessibile, di lunghezza 2R, ad un punto C.
Essa è tenuta orizzontalmente alla stessa altezza del piolo C, così da lasciare il cavo teso alla partenza:
lasciata andare, essa percorre un quarto della circonferenza di centro C,
finchè il filo non tocca il punto P, posto perpendicolarmente sotto lo stesso C, ad una distanza R.
Una volta che la pallina inizia a ruotare intorno a P, descrivendo un angolo di ampiezza rispetto alla vericale passante per C e P,
bisogna trovare:

a) l'angolo per cui vale ;

b) l'angolo in cui termina il moto rotatorio di M intorno al punto P;

C) il punto H in cui M attraversa il segmento CP, dopo aver abbandonato la traiettoria circolare, fornendo un valore riferito al punto più alto, C;

d) la velocità (in modulo) che ha la pallina quando incrocia la verticale CP.

[Hope]

questo problema è anche sulla falsa riga del quesito della gara di 2 livello del 2008 dove chiedeva di determinare il periodo in base a all angolo incontrando un punto P.

[Stardust]

Allora, nessuno si fa avanti?
Molto strano... Non vorrei aver inserito un problema troppo semplice...
Io sono partito considerando la conservazione del momento angolare un istante prima
e un attimo dopo il passaggio del peso sotto il punto P, per poi usare la conservazione dell'energia in tutti i successi passaggi.

[spn]

Io sono partito considerando la conservazione del momento angolare un istante prima
e un attimo dopo il passaggio del peso sotto il punto P

Non ho capito bene che intendi qui, ma per me, in questo caso, lo studio del momento angolare non serve, la conservazione dell'energia è più che sufficente.
C'ho poco tempo e il mio ragionamento lo posto velocemente(Foscolo mi attende...), se ci sono cose dubbie chiedete .

1) ( è la forza centrifuga)



2) Il corpo esce dalla traiettoria circolare quando T=0, percui:



3) Per semplicità indico
Mi pongo in un piano cartesiano con centro in C, e gli assi lungo la verticale e l'orizzontale. Studio la traiettoria del corpo dal momento in cui abbandona quella circolare:








Quando il corpo passa per CP allora , si ha quindi un sistema di due eq. in due incognite che risolta dà:


4) Conservazione dell'energia:

[Hope]

.

1) ( è la forza centrifuga)

perche ?

[spn]

Conservazione dell'energia:



Il è rispetto alla posizione iniziale, che sta alla stessa altezza del punto C. Sostituendo in quella di prima si ha: