298. Circuito resistivo.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 14 ago 2022, 23:24

Pigkappa ha scritto: ↑
14 ago 2022, 20:41
Che notazione tremenda mamma mia. Fammi chiamare $I_{ab,cd}, V_{ab,cd}$ la corrente e la ddp tra i nodi A e B, quando hai inserito una corrente di 1 $A$ in C e la prelevi in D, cosi' che dal nome di una variable si capisce che cosa e'.

Tu dici che $\frac{V_{ab,cd}}{I_{ab,ab}} = \frac{V_{cd,ab}}{I_{cd,cd}}$ e questo risulta vero dalle mie formule per queste quantita' espresse in funzione di $r_{\alpha \beta}$ .

Credo che tu abbia fatto confusione: se $V_{ab,cd}$ è definita come la d.d.p. tra $A$ e $B$ quando inserisci $1 \; \text{Ampere}$ di corrente in $C$ e la prelevi da $D$ , e similmente è definita $V_{cd,ab}$ , allora la mia asserzione si scrive come:
$\frac{V_{ab,cd}}{1\; \text{Ampere}}=\frac{V_{cd,ab}}{1\; \text{Ampere}}$
Che è diversa dalla tua.

Una volta chiarito questo, passo al resto. Utilizzare il principio di sovrapposizione come fai tu è la via giusta. Il motivo per cui ho suggerito di dimostrare preliminarmente quella relazione è proprio che, a partire da essa (e di nuovo dal principio di sovrapposizione) è possibile scrivere in funzione delle $R_{\alpha \beta}$ note tutte le altre "resistenze" rilevanti (e le espressioni risultanti sono decisamente pulite).
Sperando di introdurre nuova notazione per l'ultima volta, consiglio di definire $S_{\alpha \beta, \gamma \delta}$ il rapporto presente nel mio messaggio precedente (che non dipende dalle d.d.p. applicate e può essere considerata una resistenza generalizzata). Una volta dimostrata la relazione sopra si sa che $S_{\alpha \beta, \gamma \delta}=S_{\gamma \delta, \alpha \beta}$ . Inoltre, portando a termine i tuoi calcoli, dovresti accorgerti che conoscere questa quantità e le resistenze date è sufficiente a concludere. Perciò, una volta fatto, il problema diventa esprimere $S_{\alpha \beta, \gamma \delta}$ in funzione delle resistenze note, ma per ora non lascio hint su come farlo.

Per l'altra domanda: quando ci è stato proposto questo problema allo Stage dei normalisti, loro hanno dichiarato, se non ricordo male, di non essere stati in grado di dimostrare che una certa configurazione di resistenze interne descrivesse nella maniera più generale possibile il circuito per chi lo vede da fuori (non ricordo se parlassero di una configurazione in particolare o di qualunque configurazione possibile). Ora come ora io non farei affidamento su qualche riduzione del circuito a una certa disposizione di cariche interne (comunque non serve per risolvere questo problema), eventualmente dopo il test SNS posso provare a pensarci o cercare altre fonti.

Messaggio da **Pigkappa** » 15 ago 2022, 0:28

Guarda e' un bel puzzle ma ci ho gia' provato per 5 ore, mi fermo qua, aspettiamo pure qualche giorno per vedere se altri ci provano, senno' per favore posta la soluzione.

Viene dallo stage dei normalisti? A me per ora sembra estremamente difficile, o forse abbordabile solo se si e' appena visto un qualche lemma di nicchia. Se era da fare allo stage pero' probabilmente non era mortale...

Se c'e', posta anche un modo umano di arrivare a

Luca Milanese ha scritto: ↑
14 ago 2022, 23:24
$\frac{V_{ab,cd}}{1\; \text{Ampere}}=\frac{V_{cd,ab}}{1\; \text{Ampere}}$

Perche' anche se mi viene che e' vera, il conto che ho fatto io e' mostruoso.

Messaggio da **DeoGratias** » 16 ago 2022, 10:36

Intanto dimostriamo il seguente risultato (anche se non so quanto possa essere utile

): per ogni 4-tupla $(\alpha, \beta, \gamma, \delta)$ distinti vale $\frac{R_{\alpha \beta}'}{R_{\alpha \beta}}=\frac{R_{\gamma \delta}'}{R_{\gamma \delta}$
Consideriamo il circuito con $\gamma, \delta$ scollegati e una ddp $V_{1(\alpha \beta)}$ tra $\alpha$ e $\beta$ . Per Thevenin, ai capi $\gamma, \delta$ il circuito appare come un generatore $V_{TH(\gamma \delta)}$ in serie con una resistenza $R_{TH(\gamma \delta)}$ . Se $V_{1(\gamma \delta)}$ è la ddp tra i due capi scollegati quando $V_{1(\alpha \beta)}$ è applicata agli altri due capi, allora $V_{1(\gamma \delta)}=V_{TH(\gamma \delta)}$ . Inoltre, quando $\gamma, \delta$ sono cortocircuitati (sempre con la stessa ddp tra $\alpha, \beta$ )tra di essi scorre una corrente $I_{1(\gamma \delta)}=\frac{V_{1(\gamma \delta)}}{R_{TH(\gamma \delta)}}$ .
Nel circuito con $\alpha, \beta$ cortocicuitati e una ddp $V_{2(\gamma \delta)}=V_{1(\alpha \beta)}$ tra gli altri due, tra $\alpha, \beta$ scorre una corrente $I_{2(\alpha \beta)}$ ; per reciprocità si avrà $I_{2(\alpha \beta)}=I_{1(\gamma \delta)}$ . Sovrapponendo questi due circuiti, tra $\gamma$ e $\delta$ scorrerà una corrente $\frac{V_{2(\gamma \delta)}}{R_{\gamma \delta}'}+I_{1(\gamma \delta)}=\frac{V_{TH(\gamma \delta)}+V_{2(\gamma \delta)}}{R_{TH(\gamma \delta)}}$ , da cui $R_{TH(\gamma \delta)}=R_{\gamma \delta}'$ .
Infine consideriamo il circuito con la stessa ddp tra $\alpha$ e $\beta$ , e una ddp $V_{3(\gamma \delta)}=-V_{1(\gamma \delta)}$ , in modo che tra $\gamma$ e $\delta$ non scorra corrente: questo circuito è equivalente a quello con $\gamma$ e $\delta$ scollegati, quindi tra gli altri due capi scorre una corrente $I_{3(\alpha \beta)}=\frac{V_{1(\alpha \beta)}}{R_{12}}$ . Per linearità, questa corrente sarà pari a $I_{3(\alpha \beta)}=\frac{V_{1(\alpha \beta)}}{R_{12}'}-I_{2(\alpha \beta)}\frac{V_{1(\gamma \delta)}}{V_{1(\alpha \beta)}}$ . Sempre per sovrapposizione, dovrà valere $I_{1(\gamma \delta)}=\frac{V_{1(\gamma \delta)}}{R_{\gamma \delta}'}$ . Inoltre si avrà $\frac{V_{1(\alpha \beta)}}{I_{1(\gamma \delta)}}=S_{\alpha \beta, \gamma \delta}=R_{\gamma \delta}'\frac{V_{1(\gamma \delta)}}{V_{1(\alpha \beta)}}$ . Mettendo insieme tutto questo si ottiene $S_{\alpha \beta, \gamma \delta}^2=\frac{R_{\gamma \delta}'}{\frac{1}{R_{\alpha \beta}'}-\frac{1}{R_{\alpha \beta}}}$ , da cui per reciprocità si giunge a $\frac{R_{\alpha \beta}'}{R_{\alpha \beta}}=\frac{R_{\gamma \delta}'}{R_{\gamma \delta}$

Messaggio da **DeoGratias** » 21 ott 2022, 23:26

Riporto la soluzione completa:
Denotiamo con $V_{i(\alpha \beta)}$ la d.d.p. tra $\alpha$ e $\beta$ nella $i$ -esima configurazione, e facciamo lo stesso per $I_{i(\alpha \beta)}$ .
Per Thevenin, il circuito con $\alpha, \beta$ collegati a una f.e.m. $V_{1(\alpha \beta)}$ visto dagli estremi $\gamma, \delta$ equivale a una f.e.m. $V_{TH(\gamma, \delta)}$ in serie a una resistenza $R_{TH(\gamma, \delta)}$ .
Tale resistenza è pari alla resistenza equivalente tra i due capi quando tutti i generatori di tensione sono spenti, quindi gli estremi opposti sono cortocircuitati: $R_{TH(\gamma, \delta)}=R'_{(\gamma \delta)}$ .
Invece $V_{TH(\gamma, \delta)}$ è pari alla d.d.p. tra i due capi quando sono scollegati; si avrà quindi $V_{TH(\gamma, \delta)}=V_{1(\gamma, \delta)}$ .
Per dualità, se la configurazione 1 ha $\alpha, \beta$ collegati a una d.d.p. $V_{1(\alpha \beta)}$ e viceversa la configurazione 2 (con gli altri due capi), si avrà
$\frac{V_{1(\alpha \beta)}}{I_{1(\gamma \delta)}}=\frac{V_{2(\gamma \delta)}}{I_{2(\alpha \beta)}} \equiv S_{\alpha \beta, \gamma \delta}=S_{\gamma \delta, \alpha \beta$ .
Consideriamo il circuito con la d.d.p. $V_{3(\alpha \beta)}=V_{1(\alpha \beta)}$ tra $\alpha$ e $\beta$ , e una ddp $V_{3(\gamma \delta)}=-V_{1(\gamma \delta)}$ , in modo che tra $\gamma$ e $\delta$ non scorra corrente: questo circuito è equivalente a quello con $\gamma$ e $\delta$ scollegati, quindi tra gli altri due capi scorre una corrente $I_{3(\alpha \beta)}=\frac{V_{1(\alpha \beta)}}{R_{\alpha \beta}}$ . Per linearità, questa corrente sarà pari a $I_{3(\alpha \beta)}=\frac{V_{1(\alpha \beta)}}{R_{\alpha \beta}'}-I_{2(\alpha \beta)}\frac{V_{1(\gamma \delta)}}{V_{1(\alpha \beta)}}$ . Per quanto detto prima, dovrà valere $I_{1(\gamma \delta)}=\frac{V_{1(\gamma \delta)}}{R_{\gamma \delta}'}$ , perciò $\frac{V_{1(\alpha \beta)}}{I_{1(\gamma \delta)}}=S_{\alpha \beta, \gamma \delta}=R_{\gamma \delta}'\frac{V_{1(\gamma \delta)}}{V_{1(\alpha \beta)}}$ . Mettendo insieme tutto questo si ottiene $S_{\alpha \beta, \gamma \delta}^2=\frac{R_{\gamma \delta}'}{\frac{1}{R_{\alpha \beta}'}-\frac{1}{R_{\alpha \beta}}}$ , da cui per l'uguaglianza precedente si giunge a $\frac{R_{\alpha \beta}'}{R_{\alpha \beta}}=\frac{R_{\gamma \delta}'}{R_{\gamma \delta}$ , o equivalentemente $S_{\alpha \beta, \gamma \delta}^2=\frac{R_{\gamma \delta}'^2 R_{\alpha \beta} }{R_{\gamma \delta}-R'_{\gamma \delta}}=\frac{R_{\alpha \beta}'^2 R_{\gamma \delta} }{R_{\alpha \beta}-R'_{\alpha \beta}$ .
Consideriamo ora soltanto i capi $\alpha, \gamma, \delta$ , lasciando inalterato $\beta$ : tale circuito è equivalente a tre resistori $r_{\alpha 4}, r_{\gamma 4}, r_{\delta 4}$ in configurazione a $Y$ , ognuno collegato al vertice corrispondente al pedice. Si ottiene facilmente che $r_{\alpha 4} = \frac{R_{\alpha \gamma} + R_{\alpha \delta}-R_{\gamma \delta}}{2}$ e cicliche. Se cortocircuitiamo $\gamma, \delta$ e insieriamo una corrente $I$ in $\alpha$ facendola uscire in $\gamma$ , scorrerà una corrente $I_{4(\gamma \delta)}=I\frac{r_{\gamma 4}}{r_{\gamma 4}+r_{\delta 4}}$ da $\delta$ verso $\gamma$ .
Ripetiamo la stessa cosa per i tre vertici $\beta, \gamma, \delta$ , ottenendo analoghe espressioni per $r_{\beta 5}, r_{\gamma 5}, r_{\delta 5}$ . Inserendo una corrente $I$ in $\delta$ e prendendola in $\beta$ , da $\gamma$ verso $\delta$ scorrerà una corrente $I_{5(\gamma \delta)}=I\frac{r_{\gamma 5}}{r_{\gamma 5}+r_{\delta 5}}$ .
Sovrapponendo queste due ultime configurazioni si giunge a un circuito in cui $I$ scorre da $\alpha$ a $\beta$ , gli altri due estremi sono cortocircuitati e tra essi scorre una corrente $I'=I\left ( \frac{r_{\gamma 5}}{r_{\gamma 5}+r_{\delta 5}}-\frac{r_{\gamma 4}}{r_{\gamma 4}+r_{\delta 4}} \right )$ .
Ma allora $S_{\alpha \beta, \gamma \delta}^2=\frac{R'^2_{\alpha \beta}}{\left ( \frac{r_{\gamma 5}}{r_{\gamma 5}+r_{\delta 5}}-\frac{r_{\gamma 4}}{r_{\gamma 4}+r_{\delta 4}} \right )^2}$ . Utilizzando l'uguaglianza precedente e le espressioni
$r_{\gamma 4}=\frac{R_{\gamma \delta}+R_{\alpha \gamma}-R_{\alpha \delta}}{2}$ , $r_{\delta 4}=\frac{R_{\gamma \delta}+R_{\alpha \delta}-R_{\alpha \gamma}}{2}$ , $r_{\gamma 5}=\frac{R_{\gamma \delta}+R_{\beta \gamma}-R_{\beta \delta}}{2}$ , $r_{\delta 5}=\frac{R_{\gamma \delta}+R_{\beta \delta}-R_{\beta \gamma}}{2}$
si giunge infine a

$R'_{\alpha \beta}=R_{\alpha \beta}-\frac{\left ( R_{\alpha \delta} +R_{\beta \gamma} - R_{\alpha \gamma} -R_{\beta \delta} \right )^2}{4R_{\gamma \delta}}$

Messaggio da **Pigkappa** » 13 nov 2022, 2:08

Sono passate alcune settimane, direi che chiunque puo' prendersi la staffetta, e tenere conto che siamo all'inizio di un anno per cui non si postano problemi di difficolta' estrema.

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