293. Oscillazioni nel cubo

[roncu]

Io avevo trovato una soluzione semplice che non avevo postato perchè Deo Gratias mi aveva preceduto. Siccome non la prendete in considerazione devo provarla avendo il sospetto che non sia corretta anche se il risultato lo è. Considero una terna Oxyz con origine nel centro del cubo e assi perpendicolari ciascuno a due facce opposte del medesimo. Il campo elettrico generato ha tre componenti ciascuna diretta come un asse e perpendicolare a due facce opposte. Suppongo inoltre per fissare le idee che q sia vincolato ad avvicinarsi al centro lungo l'asse x e che si trovi ad un'ascissa x<a, volendo esaminare le piccole oscillazioni. Seguendo poi l'hint di Luca si può supporre che la densità risulti dalla sovrapposizione di tre densità uguali a ciascuna competente a ogni asse e alle relative facce opposte. Considero allora la gaussiana cubica di lato 2x. Solo ha flusso non nullo attraverso le due facce perpendicolari all'asse x mentre il flusso delle altre due componenti è nullo attraverso queste facce.
Pertanto essendo le normali alle facce si può ottenere da cui e quindi la forza agente su q da parte della carica nella gaussiana. La seconda legge di Newton fornisce facilmente e dunque Dove sbaglio

[DeoGratias]

Partiamo dal seguente fatto: la forza che una superficie quadrata di lato con densità di carica uniforme esercita su una carica posta lungo l'asse del quadrato a distanza vale
Consideriamo infatti la forza che la carica esercita sulla lastra (opposta in verso a quella esercitata dalla lastra: si avrà, in modulo , dove indica il flusso del campo generato dalla carica.
Se consideriamo una gaussiana cubica centrata nella carica di lato , con una faccia coincidente con la lastra, il flusso attraverso ciascuna faccia sarà lo stesso per simmetria; applicando il Teorema di Gauss si ha quindi , da cui . Inoltre, per simmetria, la forza sarà perpendicolare al piano della lastra.
Torniamo alla configurazione del messaggio precedente e calcoliamo la forza esercitata dalle tre lastre di spessore : le forze esercitate da ciascuna saranno rispettivamente (usando

,

quindi facendo il prodotto scalare di ciascuna con se ne otterrà la componente lungo la direzione di spostamento della particella; la conclusione è la stessa mostrata in precedenza.

[Luca Milanese]

@DeoGratias
Esatto! Vai pure col 294
@roncu
Ci sono due cose che non vanno nella tua soluzione. La prima, è che tratta solo il caso in cui la particella si muova parallelamente a uno degli assi da te fissati. La seconda è che non puoi supporre uniforme sull'area da te considerata. L'idea di usare la Legge di Gauss su una superficie cubica è corretta, ed era quella da avere, ma il modo di sfruttarla è quello seguito da DeoGratias. Nota inoltre che, se fosse corretto il tuo procedimento, non servirebbe supporre piccole le oscillazioni, la quale invece è una condizione necessaria.

[Luca Milanese]

Aggiungo un'altra soluzione, decisamente non olimpica, ma che potrebbe risultare interessante.
Fisso anzitutto due sistemi di riferimento cartesiani e , entrambi con l'origine nel centro del cubo. Il primo ha gli assi perpendicolari alle facce del cubo, il secondo è tale che l'asse coincida con la retta lungo la quale si muove la carica. Sia il potenziale elettrico generato nelll spazio dalla densità di carica nel cubo. Per l'Equazione di Poisson, si ha:

Data la simmetria del cubo rispetto al sistema , si ha chiaramente:

Da cui:

Adesso, si consideri il campo elettrico agente sulla particella. Questo è dato dalla componente del campo elettrico generato dal cubo parallela all'asse , cioè:

Al centro del cubo il campo elettrico è nullo, perciò, espandendo l'espressione di sopra al primo ordine in , si trova:

Da cui la frequenza angolare del moto armonico risultante è data da:

Il problema si riduce quindi al calcolo della derivata parziale seconda qui sopra.
Le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi sono lineari e omogenee:

Dove i coefficienti dipendono solo dagli angoli tra gli assi dei due sistemi. L'unica cosa che mi serve sapere si ricava dalla conservazione della lunghezza del vettore posizione sotto rotazione:

Dalle trasformazioni si ottiene inoltre:

Differenziando :


Ripetendo l'operazione:



Calcolando l'espressione in , tutte le derivate miste si annullano, poiché per simmetria si ha:

Sostituendo nei termini rimanenti le relazioni trovate sopra, si ottiene proprio:

In conformità con quanto trovato nella soluzione di DeoGratias.

[roncu]

Della tua risposta devo osservare : a) sulla prima obiezione il testo diceva che q era costretta a muoversi su una retta passante per O come quella che ho considerato e legittimamente assunto come asse x; b) sulla seconda obiezione mi sfugge allora l'enfasi posta da te sulla sovrapposizione delle densità di carica volumica usata con il mio metodo; poi l'enfasi è stata spostata nel tuo ultimo hint sul principio di azione e reazione. Inoltre mettendomi nella condizione x<a, quindi anche molto minore di a, ritenevo di aver considerato giusto il caso delle piccole oscillazioni.
Ma c'è un dato di fatto per me molto pesante: anche con il mio procedimento il risultato è corretto Io penso che i risultati corretti non vengano dal caso! In conclusione ti ringrazio per la risposta ma per me non è questa volta convincente...

[Luca Milanese]

a) il testo, non parlando di nessuna retta in particolare, chiede di fare il problema nel caso generale, cioè di una retta con inclinazione qualunque rispetto alle facce del cubo, come ha fatto DeoGratias. Il tuo asse , invece, è una retta molto particolare, essendo perpendicolare a due di queste facce. Se anche il tuo procedimento fosse stato poi corretto, avresti solo risolto un caso particolare (del tipo che in gara o in un test dà pochi o zero punti).
b) se ti è chiaro il procedimento di DeoGratias, che in nessun istante assume uniforme il campo prodotto dalla carica su una faccia di un cubo, capirai anche perché tu, nel momento in cui calcoli il flusso su una faccia come , cioè come campo per area, stai in realtà facendo tale assunzione, che non è valida. Inoltre, usare il principio di sovrapposizione non significa poter assumere che per ogni coppia di facce valga un terzo della densità di carica (e questa cosa, in realtà, non significa molto).
È vero che ti sei limitato a , ma in nessun momento hai usato davvero l'ipotesi che valga . Ciò significa che, se il tuo metodo fosse corretto, il moto armonico si avrebbe anche per grandi oscillazioni, e ciò dovrebbe farti pensare che hai sbagliato qualcosa, dal momento che, altrimenti, il testo non avrebbe avuto motivo di chiedere solo le piccole oscillazioni (e la forma "irregolare" del cubo avrebbe dovuto ulteriormente suggerirti che in generale il moto della carica non è armonico). Per finire, il fatto che il risultato finale da te ottenuto sia corretto non implica che il ragionamento sia esatto: può succedere che diversi errori si compensino fortuitamente dando un risultato esatto, ma in ogni tipo di prova viene valutato prima e soprattutto il procedimento messo in atto per raggiungerlo, a tal punto che, specie nei problemi di fisica, dove diversi ragionamenti (validi) possono far ottenere risposte leggermente differenti per fattore numerico, conta soprattutto la correttezza del procedimento logico.

[Pigkappa]

Scomponiamo la carica in una sfera S di raggio e in un solido R che contiene tutto il resto della carica. Sia la posizione della particella rispetto al centro, .

Il campo dovuto alla sfera S e' facile da calcolare con la legge di Gauss, e' radiale e proporzionale a ; nella formula non compare affatto .

Tutta la carica in R causa un campo elettrico nullo per simmetria nel centro, e che mentre ci si sposta dal centro sara' un infinitesimo di ordine almeno .

Quindi il termine dovuto a R non conta nel limite ed e' come se fosse una sfera, e non un cubo, e il problema della sfera e' molto facile.

Sono convinto che il risultato sia lo stesso per qualunque forma della distribuzione di carica, purche' la densita' di carica sia uniforme, la carica totale non sia infinita, e la particella sia messa in una posizione di equilibrio stabile circondata da carica in tutte le direzioni. Probabilmente si puo' estendere il ragionamento di Luca qua sopra per dimostrarlo, anche se formalizzare bene e' un po' impestato.

[Luca Milanese]

Tutta la carica in R causa un campo elettrico nullo per simmetria nel centro, e che mentre ci si sposta dal centro sara' un infinitesimo di ordine almeno .

Questo fatto non mi sembra così ovvio a priori.

Sono convinto che il risultato sia lo stesso per qualunque forma della distribuzione di carica, purche' la densita' di carica sia uniforme, la carica totale non sia infinita, e la particella sia messa in una posizione di equilibrio stabile circondata da carica in tutte le direzioni. Probabilmente si puo' estendere il ragionamento di Luca qua sopra per dimostrarlo, anche se formalizzare bene e' un po' impestato.

Purtroppo ciò è falso. Nella mia dimostrazione ho sfruttato parecchio l'esistenza di un sistema di coordinate in cui il potenziale fosse evidentemente abbastanza simmetrico, che mi ha dato sia relazioni come e simmetriche (da cui, volendo, ottengo l'uguaglianza delle derivate nella terza riga di TeX) sia come e simmetriche (il che mi dà l'annullamento delle derivate miste alla fine). In generale, però, posso avere distribuzioni di carica uniformi e finite che ammettano posizioni di equilibrio stabile in cui almeno una di queste condizioni non è soddisfatta, e in cui la direzione dell'oscillazione ne varia la frequenza. Un esempio che ho trovato è quello di un cilindro di raggio e altezza . Si trova facilmente che, in coordinate cilindriche, si ha, per :

E quindi, per :

Da queste espressioni, è chiaro che, muovendosi radialmente o verticalmente, la carica seguirebbe moti armonici con periodi differenti.

[Pigkappa]

Ok! Era un'ipotesi azzardata