282. Quanta carica?

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 13 dic 2021, 15:07

Si ha un tubo di vetro tenuto fisso in posizione verticale. Una spira circolare di raggio $r$ maggiore del raggio del tubo è tenuta in posizione orizzontale, coassiale al tubo (cioè quest'ultimo la attraversa perpendicolarmente nel suo centro). La spira ha resistenza $R$ ed è connessa in serie con un diodo ideale. La lunghezza del tubo è molto maggiore di $r$ . Un piccolo oggetto di momento magnetico costante $m$ è fatto cadere nel tubo, partendo molto in alto, in modo che il suo momento magnetico punti sempre verso il basso. Qual è, in modulo, la carica totale che scorre nel diodo durante la caduta dell'oggetto?

Messaggio da **DeoGratias** » 14 dic 2021, 20:43

Visto che la spira è collegata a un diodo ideale, la corrente scorrerà soltanto in una direzione.
E' noto che il campo generato da un dipolo magnetico è $\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\vec{m} \cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{m}}{r^3}$ .
Assumo che il dipolo magnetico si muova lungo l'asse della spira passante per il suo centro. Sia $l$ la distanza tra il dipolo e il centro della spira, calcoliamo il flusso $\textup{d}\Phi$ del campo attraverso una corona circolare di raggi $\bar{r}$ e $\bar{r} + \textup{d}\bar{r}$ , con $0 \leq \bar{r} \leq r$ . Il versore $\hat{r}$ punterà verso i punti appartenenti alla corona circolare, quindi sarà inclinato di un angolo $\theta$ rispetto a $\vec{m}$ . Si ha
$\textup{d}\Phi =\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\vec{m} \cdot \hat{r})(\hat{r} \cdot \vec{\textup{d}A})-\vec{m}\cdot \vec{\textup{d}A}}{(l^2+\bar{r}^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 m \bar{r}(3\textup{cos}^2\theta-1)\textup{d}\bar{r}}{2(l^2+\bar{r}^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0 m \bar{r}(2l^2-\bar{r}^2)\textup{d}\bar{r}}{2(l^2+\bar{r}^2)^{5/2}}$
Integrando (se necessario posto i conti) tra $0$ e $r$ , si ottiene $\Phi(l)=\frac{\mu_0mr^2}{2(l^2+r^2)^{3/2}$ .
Dalla legge di Faraday, prendendo $q$ come positiva, se si ha passaggio di corrente allora $\dot{q}R=\dot{\Phi}=-\frac{3\mu_0mr^2l\dot{l}}{2(l^2+r^2)^{5/2}}$ . Visto che la d.d.p. applicata agli estremi del diodo cambia verso quando il dipolo oltrepassa la spira (dal momento che il flusso cessa di aumentare col tempo e comincia a diminuire), ci sarà passaggio di corrente dal momento in cui il dipolo è rilasciato fino a quando passa attraverso il piano della spira (o da quando passa dal piano della spira fino a quando arriva a distanza infinita, a seconda delle condizioni iniziali, ma si ottiene lo stesso risultato in entrambi i casi).
Se il flusso varia di $\textup{d} \Phi$ in $\textup{d}t$ , il dipolo si avvicinerà di $\textup{d}l$ e nella spira scorrerà una carica $\textup{d}q$ data da $\textup{d}q=-\frac{3\mu_0mr^2l\textup{d}l}{2R(l^2+r^2)^{5/2}}$ .
Visto che il dipolo parte molto lontano, è possibile assumere che la distanza iniziale sia infinita, quindi $q=-\int _{\infty}^{0}\frac{3\mu_0mr^2l\textup{d}l}{2R(l^2+r^2)^{5/2}}=\frac{\mu_0m}{2Rr}$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 14 dic 2021, 20:53

C'è un errore di conto verso alla fine, tu invito a trovarlo e correggerlo. È davvero necessario derivare rispetto al tempo $\Phi(l)$ ?

Messaggio da **DeoGratias** » 14 dic 2021, 21:08

Luca Milanese ha scritto: ↑
14 dic 2021, 20:53
C'è un errore di conto verso alla fine, tu invito a trovarlo e correggerlo.

Mi sono scordato un 2 al denominatore dell'ultima frazione, dovrebbe essere $q=\frac{\mu_0m}{2Rr}$ .

Luca Milanese ha scritto: ↑
14 dic 2021, 20:53
È davvero necessario derivare rispetto al tempo $\Phi(l)$ ?

Effettivamente no: definendo $q(l)$ come la carica che è passata nel diodo fino a quando il dipolo è a distanza $l$ dalla spira, sempre dalla legge di Faraday $q(l)-q(\infty)=q(l)=\frac{\Phi(l)-\Phi(\infty)}{R}=\frac{\Phi(l)}{R}$ , quindi $q=\Phi (0)=\frac{\mu_0m}{2Rr}$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 14 dic 2021, 21:35

Ora è perfetto, a te la staffetta!

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