280. Flusso di calore

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 29 nov 2021, 20:48

Sono dati due grandi piani paralleli, a distanza $L$ l'uno dall'altro, tenuti alle temperature $T_1$ e $T_2$ con $T_1 \gg T_2$ . L'area dei piani è molto maggiore di $L^2$ . Lo spazio fra i due piani è riempito con un gas ideale di massa molare $M$ e densità molare $n$ . Si assuma che il libero cammino medio del gas in queste condizioni sia molto maggiore di $L$ , e si trascuri la radiazione di corpo nero. Si ipotizzi inoltre che, quando una particella di gas colpisce uno dei due piani, ne assume istantaneamente la temperatura. In queste condizioni, determimare o stimare (il coefficiente numerico può non essere esatto) il calore trasmesso per unità di area e di tempo fra i due piani.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 7 dic 2021, 8:45

Hint: considerare il moto di una particella di gas che "rimbalza" tra i due piani.

Messaggio da **DeoGratias** » 7 dic 2021, 16:24

Sia x un asse perpendicolare ai due piani; userò il pedice $_1$ per riferirmi alle particelle che si muovono dal piano caldo a quello freddo, $_2$ per le altre.
Sia $\left \langle v \right \rangle$ la velocità media (in modulo) delle molecole alla temperatura $T$ . Usando la distribuzione di Maxwell, si ottiene $\left \langle v \right \rangle= 4\pi \left ( \frac{M}{2\pi RT} \right )^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty}v^3e^{-\frac{M{v}^2}{2RT}}dv = \sqrt{\frac{32RT}{\pi M}}\int_{0}^{\infty}x^3e^{-x^2}dx=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ .
Nell'urto con uil piano più freddo, $\textup{d}N$ molecole trasmetteranno un calore $\textup{d}Q=\frac{3}{2}k(T_1-T_2)\textup{d}N$ e la velocità di ognuna cambierà da $\sqrt{\frac{8RT_1}{\pi M}}$ a $\sqrt{\frac{8RT_2}{\pi M}}$ (o viceversa nell'urto con il piano più caldo), senza però che vari il rapporto $\frac {v_x}{v}$ . Consideriamo tutte le particelle con lo stesso valore di $\frac {v_x}{v}$ (quindi con il vettore velocità inclinato dello stesso angolo rispetto all'asse x), e supponiamo di essere in uno stato stazionario, in cui l'intensità del flusso di calore è costante nel tempo: ciò è possibile solo se il numero di particelle che colpiscono il piano freddo in un tempo $\textup{d}t$ è pari al numero di quelle che colpiscono quello caldo. Detta quindi $n_1$ la densità molare di molecole che si muovono dal caldo al freddo, $n_2$ quella opposta, con $n=n_1+n_2$ , si dovrà avere
$\textup{d}N_1=n_1Av_{1x}\textup{d}t=\textup{d}N_2=n_2Av_{2x}\textup{d}t \Rightarrow n_1=\frac{nv_{2x}}{v_{1x}+v_{2x}}=\frac{n\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}}$
Di conseguenza, il contributo infinitesimo all'intensità del flusso dato dalle molecole con velocità lungo l'asse x compresa tra $v_{1x}$ e $v_{1x}+\textup{d}v_{1x}$ è
$\textup{d}I=\frac{3}{2}kn(T_1-T_2)\frac{\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}}v_{1x}\textup{d}P$
dove $\textup{d}P$ indica il rapporto tra il numero di tali molecole e quello totale di molecole che si muovono dal piano caldo al piano freddo.
Perciò l'intensità totale sarà data da $I=\frac{3}{2}kn(T_1-T_2)\frac{\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}}\left \langle v_{1x} \right \rangle$
dove $\left \langle v_{1x} \right \rangle$ è il valore medio della loro velocità di quest'ultime lungo l'asse x.
Visto che, per ognuna di queste molecole, si può scrivere $v_{1x}=v_1\textup{sin}\theta \textup{sin}\phi$ , con $\theta, \phi$ compresi tra $0$ e $\pi$ , si avrà $\left \langle v_{1x} \right \rangle = \frac{\left \langle v_1 \right \rangle}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\textup{sin}\theta \textup{sin}\phi \textup{d}\theta \textup{d}\phi = \frac{4}{\pi^2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
Quindi, $I=\frac{12\sqrt2}{\pi^{5/2}}\textup{k}n(T_1-T_2)\sqrt{\frac{RT_1T_2}{M(\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2})^2}}=\frac{12\sqrt2}{\pi^{5/2}}\textup{k}n(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2})\sqrt{\frac{RT_1T_2}{M}}$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 7 dic 2021, 18:02

Direi che ci siamo, la staffetta è tua, tuttavia ti invito a sostituire $R$ a $k$ ( $n$ è densità molare) e a rivedere meglio il tuo calcolo di $\langle v_{1x} \rangle$ , che è sbagliato e ti porta a un coefficiente numerico errato.

Messaggio da **DeoGratias** » 9 dic 2021, 16:51

1) Sì, mi sono scordato un $N_a$ nel calcolo delle particelle che urtano il piano.
2) In effetti tornava strano anche a me

Correggerei così: consideriamo una semisfera di raggio unitario sezionata in due dal piano $yz$ ; sia $\theta$ l'angolo di un vettore di modulo unitario formato con l'asse $x$ . La probabilità che la proiezione sull'asse x di questo vettore sia compresa tra $\textup{cos} \theta$ e $\textup{cos} (\theta+\textup{d} \theta)$ è $\textup{d}P=\textup{sin} \theta \textup{d} \theta$ . La stessa cosa può essere fatta con il vettore $\vec{\left \langle v \right \rangle}$ ; visto che $v_x(\theta) ={\left \langle v \right \rangle}\textup{cos}\theta$ , allora ${\left \langle v_{1x} \right \rangle}=\int v_{1x}(\theta)\textup{d}P=\left \langle v_1 \right \rangle\int_{0}^{\pi/2}\textup{sin} \theta \textup{cos} \theta \textup{d} \theta=\frac{1}{2}\left \langle v_1 \right \rangle = \sqrt{\frac{2RT_1}{\pi M}}$ , quindi il risultato finale dovrebbe essere
$I=3n(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2})\sqrt{\frac{R^3T_1T_2}{2\pi M}}$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 9 dic 2021, 16:55

Adesso è perfetto!

Messaggio da **DeoGratias** » 9 dic 2021, 17:01

Mi rimane un dubbio: perché l'assunzione $T_1 \gg T_2$ ? In linea teorica non dovrebbe funzionare lo stesso anche se le due temperature fossero vicine?

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 9 dic 2021, 17:08

L'assunzione serviva solamente a permettere di scrivere il risultato in una forma più elegante, come $3nT_1 R \sqrt{\frac{RT_2}{2\pi M}}$

Chiaramente il tuo risultato vale anche per $T_1 \approx T_2$ , e infatti dà $0$ per $T_1=T_2$ , come dovrebbe essere nel caso di equilibrio.

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