273: Gas di dipoli magnetici

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 21 set 2021, 21:13

È dato un sistema di $N$ dipoli magnetici indipendenti alla temperatura $T$ e immersi in un campo magnetico esterno uniforme e costante $\vec B = B \hat x$ . I dipoli sono quantizzati: il momento di dipolo lungo $\hat x$ di ciascuno può assumere valore $+\frac{e \hbar}{2m}$ o $-\frac{e \hbar}{2m}$ .
a) Si determini qual è il valore medio dell'energia totale del sistema;
b) Per temperature molto grandi (quantificare cosa ciò voglia dire), qual è la capacità termica del sistema?

Messaggio da **DeoGratias** » 28 set 2021, 22:20

Visto che i dipoli magnetici sono indipendenti, la loro energia dipenderà solo dal loro orientamento rispetto al campo: supponiamo ce ne siano $m$ controallineati e $N-m$ allineati; l'energia del sistema sarà $U=(2m-N)\mu B$ , con $\mu =+ \frac{e \hbar}{2m}$ .
Per la distribuzione di Boltzmann, la densità di probabilità che il sistema abbia energia $U$ è $W(U)=Ae^{-\frac{U}{kT}}$ , dove $A$ è una costante. Per determinarla, la somma sui valori discreti di $W$ deve essere 1:
$\sum W(U)=1=A\sum e^{-\frac{U}{kT}}=A\cdot exp(\frac{N\mu B}{kT})\sum_{m=0}^{N}(e^{-\frac{2\mu B}{kT}})^m \equiv Ae^{N\alpha}\sum_{m=0}^{N}e^{-2\alpha m}$ , dove $\alpha =\frac{\mu B}{kT}$ .
Conoscendo il risultato della serie geometrica, si ottiene $A=e^{-N\alpha}\frac{1-e^{-2\alpha}}{1-e^{-2\(N+1)\alpha}}$ .
L'energia media $\left \langle U \right \rangle$ sarà:
$\left \langle U \right \rangle =\sum_{m=0}^{N}W(m)U(m)=A\mu B\sum_{m=0}^{N}(2m-N)e^{(N-2m)\alpha}=-N\mu B+2\mu B \frac{1-e^{-2\alpha}}{1-e^{-2(N+1)\alpha}}\sum_{m=0}^{N}m(e^{-2\alpha})^m$
Per trovare $S(x,n)=\sum_{m=0}^{n}mx^m$ , riscriviamola come:
$\sum_{m=0}^{n}mx^m=\sum_{m=0}^{n}(m+1)x^m-\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sum_{m=0}^n x^{m+1}-\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ $=\frac{x}{(1-x)^2}(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1)$
Sfruttando questo risultato, ottengo
$\left \langle U \right \rangle=-\mu B( N-2(\frac{e^{-2\alpha}(Ne^{-2(N+1)\alpha}-(N+1)e^{-2N\alpha}+1)}{(1-e^{-2\alpha})(1-e^{-2(N+1)\alpha})}))$

Per trovare $C$ , si deve avere $Q=\Delta\left \langle U \right \rangle=C\Delta T$ ; $T$ molto elevata presumo significhi $T\gg \frac{\mu B}{k}$ , così da poter espandere $U$ attorno a $\alpha =0$ ; in questo modo otterrei $U(T)\approx U_0-\frac{2\mu^2B^2(N+1)}{kT}+O((\frac{\mu B}{kT})^2))$
Seguirebbe che $\frac{U(T+\Delta T)-U(T)}{\Delta T}=C= \frac{2\mu^2B^2(N+1)}{kT^2}$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 29 set 2021, 21:03

Credo che tu abbia inteso male il senso della legge di Boltzmann: ad essere proporzionale a $e^{-\frac{U}{k_B T}}$ è la probabilità che il sistema si trovi in ciascuno dei microstati con tale energia, quindi se, come nel nostro caso, ciascuna energia può essere ottenuta in più modi, non è vero che il sistema ha energia $U$ con tale probabilità. Piuttosto ti consiglio di ragionare sui singoli dipoli: puoi determinare qual è il rapporto fra numero di dipoli orientati in un senso e numero di quelli orientati in senso opposto? Inoltre si può supporre $N \gg 1$ .

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 4 ott 2021, 18:48

Hint: ciascun dipolo può trovarsi in soli due stati: in uno dei due ha energia $\frac{B e \hbar}{2m}$ , nell'altro $-\frac{B e \hbar}{2m}$ . La probabilità che si trovi nell'uno o nell'altro stato è data dalla legge di Boltzmann. Da qui si può ricavare il numero di dipoli presenti in media in ciascun orientamento e dedurne l'energia totale del sistema.

Messaggio da **DeoGratias** » 6 ott 2021, 21:55

Se ho capito bene, ogni dipolo ha probabilità $Ae^{\frac{\mu B}{kT}}$ di essere allineato col campo e $Ae^{-\frac{\mu B}{kT}}$ di essere controallineato. Visto che $N\gg 1$ , il rapporto tra il numero di quelli allineati e di quelli controallineati è $e^{\frac{2\mu B}{kT}}$ . Visto che il numero totale di dipoli si conserva, quelli controallineati sono $m=\frac{N}{1+e^{\frac{2\mu B}{kT}}}$ , gli allineati sono $N-m=\frac{Ne^{\frac{2\mu B}{kT}}}{1+e^{\frac{2\mu B}{kT}}}$ . L'energia totale sarebbe quindi $U(T)=-N\mu B\frac{e^{\frac{2\mu B}{kT}}-1}{e^{\frac{2\mu B}{kT}}+1}$

La capacità termica sarebbe $C=\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} T}$ . Supponendo $\beta = \frac{2\mu B}{kT} \ll 1$ , espandendo $U$ con Taylor attorno a $\beta =0$ diventa $U(\beta) = -\frac{1}{2}N\mu B(\beta-\frac{1}{12} \beta^3+O(\beta^5))$

Quindi $U(T)=-\frac{1}{2}N\mu B (\frac{2\mu B}{kT}-\frac{1}{12}(\frac{2\mu B}{kT})^3+O((\frac{2\mu B}{kT})^5))$ .

Da qui, $U(T+dT)-U(T)=(\frac{N\mu^2 B^2}{kT^2}-\frac{N\mu^4B^4}{k^3T^4}+O(\frac{N\mu^6 B^6}{k^5T^6}))dT \approx\frac{N\mu^2 B^2}{kT^2}dT$ visto che $T$ è molto grande, quindi $C=\frac{Ne^2\hbar^2B^2}{4m^2kT^2}$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 6 ott 2021, 22:47

Sì esatto! Vai pure col prossimo

273: Gas di dipoli magnetici

273: Gas di dipoli magnetici

Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Re: 273: Gas di dipoli magnetici