1) Trovare la densità di massa
Al corpo, inizialmente in orbita circolare, viene data una piccola perturbazione radiale.
2) Il periodo dell'orbita e delle oscillazioni coincidono o si ha precessione?
3) Per quali
272 - Potenziale di Yukawa
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DeoGratias
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272 - Potenziale di Yukawa
Un corpo di massa 
è in moto in un potenziale di Yukawa, dato da 
.
1) Trovare la densità di massa )
che origina questo potenziale
Al corpo, inizialmente in orbita circolare, viene data una piccola perturbazione radiale.
2) Il periodo dell'orbita e delle oscillazioni coincidono o si ha precessione?
3) Per quali
le orbite sono stabili?
1) Trovare la densità di massa
Al corpo, inizialmente in orbita circolare, viene data una piccola perturbazione radiale.
2) Il periodo dell'orbita e delle oscillazioni coincidono o si ha precessione?
3) Per quali
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Luca Milanese
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Re: 272 - Potenziale di Yukawa
1) Il campo gravitazionale )
è dato da 
:
=GM \frac{\partial}{\partial r}\bigg(\frac{e^{-\lambda r}}{r}\bigg ) \hat r=-\frac{GM e^{-\lambda r} (1+\lambda r)}{r^2} \hat r)
Dalla Legge di Newton, data l'evidente simmetria sferica del problema, si ha=-\frac{Gm(r)}{r^2} \hat r)
, essendo )
la massa totale contenuta in una sfera di raggio centrata nel centro attrattore che produce il potenziale dato. Perciò:
=Me^{-\lambda r}(1+\lambda r))
Da cui=M)
, cioè all'origine delle coordinate è presente una massa puntiforme 
che può essere formalizzata come una densità a Delta di Dirac )
. Per 
, la densità )
si ottiene come -m(r)}{4\pi r^2 \text{d}r}=\frac{1}{4\pi r^2}{\frac{\text{d}m}{\text{d}r})
, perciò:
=M\delta^3(\vec r)-\frac{M e^{-\lambda r} \lambda^2}{4\pi r})
Dunque al di fuori del centro la densità di materia è negativa. La stessa espressione si poteva ottenere direttamente dall'equazione di Poisson=4\pi G \rho(r))
.
2) e 3) Sia
il modulo del momento angolare di rispetto all'origine: esso è chiaramente conservato se l'oggetto subisce una perturbazione radiale. All'equilibrio, nell'orbita circolare di raggio 
, la seconda legge di Newton dà:
 \Rightarrow L^2=GMm^2 r_0 e^{-\lambda r_0} (1+\lambda r_0))
Se l'equilibrio è stabile, si ha}{\partial r^2}>0)
, dove +\frac{L^2}{2m^2 r^2})
è il potenziale efficace:
}{\partial r^2}=\frac{3L^2}{m^2 r^4}-\frac{GM e^{-\lambda r}(2+2\lambda r + \lambda^2 r^2)}{r^3})
 >0)
Perciò le orbite circolari stabili sono quelle di raggio
Il periodo dell'orbita è dato da}{r_0^3}})
Mentre il periodo di un'oscillazione radiale si ottiene da}{\partial r^2}} =\sqrt{\frac{GM e^{-\lambda r_0} (1+\lambda r_0-\lambda^2 r_0^2)}{r_0^3}} )
Perciò si ha
e i due periodi non coincidono.
Dalla Legge di Newton, data l'evidente simmetria sferica del problema, si ha
Da cui
Dunque al di fuori del centro la densità di materia è negativa. La stessa espressione si poteva ottenere direttamente dall'equazione di Poisson
2) e 3) Sia
Se l'equilibrio è stabile, si ha
Perciò le orbite circolari stabili sono quelle di raggio
Il periodo dell'orbita è dato da
Mentre il periodo di un'oscillazione radiale si ottiene da
Perciò si ha
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems
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DeoGratias
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Re: 272 - Potenziale di Yukawa
Tutto perfetto, a te il testimone! 