267. Infinitupolo

[matteofisica]

* Le prime due domande sono tratte dall'Halliday - Fisica 2. La terza rappresenta un tentativo di generalizzare la situazione *

Abbiamo un dipolo di cariche elettriche posto lungo l'asse y con il centro di massa nell'origine degli assi. Le cariche elettriche valgono e sono distanziate tra loro di . Un punto P è situato lungo l'asse x a distanza dall'origine. Quali sono la direzione e il modulo del campo elettrico nel punto P?
Aggiungiamo ora un altro dipolo a distanza 2L da quello di prima, nel semiasse negativo delle ascisse. Definiamo questa distribuzione di cariche un quadrupolo:
-e +e
+e -e
Qual è ora il campo elettrico nel punto P? Per rispondere a questo quesito, si può supporre .
Generalizzando, qual è il campo elettrico nel punto P se mettiamo un numero infinito di questi dipoli uno dietro l'altro, sempre alla stessa distanza, alternando le cariche?

[Leo]

Considerando e>0 (opposta della carica elettronica, il campo elettrico all'ascissa x nel caso del dipolo risulta il doppio della componente y delle due cariche (le componenti x si elidono) e uguale a mentre nel caso del quadripolo mi risulterebbe, eliminando le potenze di L e ponendo l'origine al centro del quadruplo in modo che la distanza dei due dipoli fosse rispettivamente (x-L) e (x+L), .
Nel caso dell'infinitopolo mi risulterebbe . La serie, facendo il prodotto dei binomi al quadrato ed eliminando i termini con potenze di L da 2 in su , mi risulterebbe nulla come se i quadripoli successivi si elidessero. Ma non sono convinto credo di aver esagerato. Ci ripenserò
Dimmi intanto cosa pensi...

[matteofisica]

Il primo e il secondo punto vanno sicuramente bene. Per quanto riguarda il terzo, potresti scrivere i calcoli più esplicitamente? In realtà, il tuo risultato non mi sembra così inverosimile: nel momento in cui trascuri le potenze di L da 2 in su già dal secondo dipolo potrebbe darsi che i contributi successivi siano veramente nulli. Non conoscendo il risultato né avendo mai lavorato con queste serie infinite non posso consigliarti un granché: ho postato questo problema proprio per imparare! Comunque, secondo me, potresti provare a svolgere i calcoli per un ottupolo (coppia di quadrupoli) e vedere se i risultati sono coerenti.

[Leo]

Figurati io con le serie...Allora comunque credo che sia corretta l'impostazione con la serie del mio post precedente. Allora ho considerato il denominatore della sommatoria sviluppandolo. Lo faccio senza scrivere la linea di frazione tanto ci intendiamo. Abbiamo. Chiaramente (?) l'ultimo termine si trascura e mettendo una x in evidenza risulta. Chiaramente (?)l'ultimo termine in parentesi si trascura e mettendo un'altra x in evidenza risulta . Stesso giochino si trascura l'ultimo termine e x in evidenza E trascurando ancora l'ultimo termine otteniamo incredibilmente . Per cui risulterebbe alla fine . Insomma tutti gli altri quadripoli conterebbero come il primo! Decidi tu ovviamente ma io consulterei da ...a... Non mi torna trascurare una n che tende a infinito...

[matteofisica]

Non saprei... noi conosciamo il risultato della serie . Non si potrebbe operare la sostituzione e cambiare gli indici della serie come si fa con gli integrali? In questo modo troveremmo (?) un risultato indipendente da n per poi elidere le potenze di L da 2 in su.

[Leo]

Temo di non capire. Pensi a qualcosa di analogo al cambio degli estremi di integrazione negli integrali? Comunque grazie del valore della serie che avevo visto anch'io come applicazione del teorema di Parseval (così avevo letto) Propendo per un altro trucco che domani posterò (oggi non ho tempo).

[matteofisica]

Esatto, pensavo proprio al cambio degli estremi di integrazione. Però se hai un altro metodo aspetto con interesse di vederlo!

[Leo]

Allora abbiamo da parte dell'infinitopolo un campo E dato dall'espressione . Ora gli addendi della somma, evidenziando a denominatore , possono scriversi come . Il trucco di cui ti parlavo sarebbe questo: detto x*il massimo intero compreso in (x/2L) io sommerei con n che va da (-x*+1) e in modo che da una parte c'è l'influenza di x poichè se fosse poniamo x=100L si avrebbero un numero di termini maggiore che se fosse x=10 L ma dall'altra, secondo me giustamente, il risultato del campo generato dagli altri infinitopoli è sempre .
Sarebbe insomma
Quindi ricapitolando
A) il campo elettrico di un dipolo, diretto secondo le y negative elidendosi la componente x dei campi delle due cariche, risulta

B) Il campo elettrico di quadrupolo, sfruttando x>>L, risulta in modulo
C) Il campo elettrico generato da un infinitopolo mi risulterebbe insomma

[Pigkappa]

Non ho seguito ma l'ultimo termine non è dimensionalmente un campo elettrico...

[Leo]

Si grazie infatti manca il coefficiente che è lo stesso di e cioè . Appena ho tempo lo rimetterò per bene. Scusate.