245. Velocità Limite

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 31 dic 2020, 13:36

Un corpo in acqua è soggetto ad una forza viscosa $\vec F=-\gamma \vec v$ .
Se il corpo è lasciato cadere da fermo, raggiungerà una velocità limite $v_1$ e continuerà ad affondare con questa velocità.

Supponiamo che al corpo venga impressa una velocità iniziale orizzontale $v_2$ . Qual è la velocità minima del corpo, nel suo moto?

lorenzo.arienti.gdg · Messaggio da **lorenzo.arienti.gdg** » 31 dic 2020, 20:49

Iniziamo col trovare le componenti x e y della velocità in funzione del tempo.

Componete y:
$ma_y=mg- \gamma v_y$
$m\frac{dv_y}{dt}=mg- \gamma v_y$
Risolvento si trova $v_y(t)=\frac{mg}{\gamma}(1-e^{\frac{-\gamma t}{m}})$

Componente x:
$ma_x=-\gamma v_x$
$m\frac{dv_x}{dt}=-\gamma v_x$
Risolvendo troviamo $v_x(t)=v_2e^{\frac{-\gamma t}{m}}$

$v(t)^2=v_x(t)^2+v_y(t)^2$
Svolgendo i calcoli e usando $v_1=\frac{mg}{\gamma}$ si arriva a $v(t)^2=(v^2_1+v^2_2)e^{\frac{-2 \gamma t}{m}} -v^2_1e^{\frac{-\gamma t}{m}} + v^2_1$

Possiamo trovare il minimo di $v(t)^2$ impostando la sua derivata a $0$ sapendo che coinciderà con il minimo della funzione $v(t)$
$\frac{dv(t)^2}{dt}=e^{\frac{- \gamma t}{m}}(-e^{\frac{- \gamma t}{m}}(\frac{2 \gamma v^2_2}{m}+\frac{2mg^2}{\gamma})+\frac{2mg^2}{\gamma})=0$
Trovo le due soluzioni $e^{\frac{-\gamma t}{m}}=0$ e $e^{\frac{-\gamma t}{m}}=\frac{m^2g^2}{m^2g^2+2 \gamma^2 v^2_2}$
E' la seconda soluzione quella che ci interessa:
$e^{\frac{-\gamma t}{m}}=\frac{m^2g^2}{m^2g^2+2 \gamma^2 v^2_2}$
$-\frac{\gamma t}{m}=ln(m^2g^2)-ln(m^2g^2+ 2\gamma^2 v^2_2)=ln(m^2g^2)-(ln(m^2g^2)+ln(1+\frac{\gamma^2 v^2_2}{m^2g^2}))$
$t=\frac{m}{\gamma}ln(1+\frac{\gamma^2v^2_2}{m^2g^2})$

Sostituiamo questo risultato nella funzione $v(t)^2$ per trovare la soluzione $v(t)^2=\frac{v^2_1v^2_2}{v^2_1+v^2_2}$ e quindi $v(t)=\frac{v_1v_2}{\sqrt{v^2_1+v^2_2}}$

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 31 dic 2020, 22:17

Tutto giusto, bravo.
Tuo il testimone

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 21 gen 2021, 18:01

Questo problema ha anche un'altra elegantissima soluzione che mi sembra doveroso condividere. Il problema è tratto da " 200 more puzzling physics problems", numero 19.
L'equazione del moto del corpo è
$m\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t} = -\gamma \cdot\overrightarrow{v} + m\overrightarrow{g}$

Siccome la velocità limite è $\overrightarrow{v_1} = \frac{m}{k}\overrightarrow{g}$ , l'equazione del moto diventa
$v_1\frac{\text{d}\overrightarrow{v}(t)}{\text{d}t}= g\overrightarrow{v_1} - g\overrightarrow{v}(t)$
Definendo $\overrightarrow{u(t)} = \overrightarrow{v(t)} - \overrightarrow{v_1}$ , ottengo
$\frac{\text{d}\overrightarrow{u}(t)}{\text{d}t} = -\frac{g}{v_1}\overrightarrow{u}$
Ovvero la derivata di $\overrightarrow{u}$ è parallela al vettore, che quindi non cambia mai direzione. Questa direzione è quella iniziale, ovvero $\overrightarrow{u}(0)=\overrightarrow{v_2} - \overrightarrow{v_1}$ . La velocità del corpo è quindi $\overrightarrow{v_2} + \overrightarrow{u}\cdot \lambda(t)$ , dove $\lambda(t)$ è una funzione scalare. Significa che la testa del vettore $\overrightarrow{v}$ si muove sulla linea $AB$ in figura.
Immagine

Come si può ben immaginare, $\overrightarrow{v}$ è minimo quando coincide con $OP$

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