247. Tubo di gomma.

[Luca Milanese]

Un tubo cilindrico (cavo, omogeneo nel materiale e nello spessore) di gomma elastica, con lunghezza , raggio e spessore (con e ) è chiuso alle estremità da due piani infiniti. All’interno del tubo sono presenti moli di un gas biatomico ideale a pressione atmosferica e il sistema è in equilibrio con l’ambiente esterno. È noto che un parallelepipedo di dimensioni , fatto della stessa gomma del tubo, quando viene stirato lungo il lato di lunghezza , si comporta elasticamente, con costante di elasticità . Inoltre, è noto che il parallelepipedo si strappa quando raggiunge una lunghezza pari a volte quella iniziale. Calcolare la quantità minima di calore da dover somministrare al gas per far strappare il tubo assumendo che:
• la gomma e i tappi isolino perfettamente il gas dall’esterno e dunque non ci siano dispersioni di calore;
• il calore sia somministrato abbastanza lentamente da poter considerare la trasformazione quasistatica.

[G.kyudo]

Per questo problema possiamo stabilire le equazioni della conservazione della energia poichè il cilindro non scambia calore con l'esterno:

Poichè l'energia potenziale elastica necessaria per allungare il nostro parallelepipido deve essere uguale a l'energia da fornire al gas. Siccome sappiamo che inizialmente si trova nella condizione di riposo e la sua lunghezza finale sarà quinidi:



Quindi la quantita di calore deve essere uguale al opposto del lavoro eseguito.





Questo numero è l'energia necessaria al gas per compiere questa espansione che quindi corrisponde, al calore necessario e minimo per far si che il parallelepipedo si strappi. Corrisponde all'energia minima perche in questo caso il calore assorbito è stato integralmente convertito in lavoro. Se noi tagliamo il nostro parallelepipedo possiamo vedere che parallelepipedo non espanso è constribile un cilindro come quello proposto nel problema e da quello sottoposto all'espansione un cilindro con circonferenza pari a la circonferenza iniziale. Possiamo quindi considerare entrambi espansioni equivalenti e perciò l'energia necessaria è la stessa per il tubo.

[Luca Milanese]

La soluzione è errata. Devi tenere conto dell'energia del gas e di un'altra cosa che per ora non dico. Inoltre è sbagliato scrivere il calore in quel modo: non è una funzione che puoi associare allo stato del sistema, come l'energia o l'entropia, ma solo una forma di energia non meccanica in transito. Peraltro, come dice il testo, bisogna fornire calore, non sottrarlo, dunque il tuo risultato dovrà essere positivo.

[G.kyudo]

Cercheró un altra soluzione, penso di avere qualche idea, comunque con Q volevo designare l'energia interna del gas la cui variazione consideravo uguale al calore necessario per compiere il lavoro per stirare il materiale, la prossima volta faró una miglior scelta della notazione

In oltre il valore è negativo perchè equivale all'energia che il gas perde per stirare l'oggetto, il suo contrario era perció l'energia da fornire

Va beh non toglie che è sbagliato hehe

[Leo]

Ti volevo sottoporre questo ragionamento. La quantità Q dovrà uguagliare il lavoro esterno positivo fatto dal gas e la variazione della sua energia interna. Il lavoro consiste di due parti secondo me. Quello di dilatazione del gas contro 1 atmosfera da a e quello contro la forza elastica dell'involucro cilindrico fino alla sua rottura e sempre fra ed . Sono entrambi positivi ed ineludibili. Variazione energia interna dalla temperatura iniziale, che si deduce dall'equazione di stato nota p e noto V, alla temperatura finale. Dalla positività di Q, non essendo possibile altra q negativa dato l'isolamento, e dal calcolo della variazione di entropia (che ho fatto lungo una trasformazione in parte a volume costante ed in parte a pressione costante dalla stessa temperatura iniziale alla stessa temperatura finale) mi risulta che quest'ultima è maggiore o al minimo uguale alla temperatura iniziale. Allora la variazione di energia interna mi risulta mai negativa. O è positiva o nulla. Questo vuol dire che il minimo valore di Q, pari alla somma dei lavori, si ha quando la temperatura finale è uguale a quella iniziale. E' ovvio che non vuol dire che la trasformazione debba essere isoterma.

[Luca Milanese]

Tutto quel che dici è giusto. Tuttavia, facendo i conti, dovresti accorgerti che la temperatura è funzione crescente del raggio in questa situazione.

[lorenzo.arienti.gdg]

Come dice Leo il calore fornito compie lavoro contro la forza elastica del tubo e contro la forza dovuta alla pressione esterna e aumenta l'energia interna del gas.
Calcoliamo la pressione che il tubo elastico esercita in funzione di , dove è il raggio del tubo in un dato momento. Impossibilitato dal caricare immagini non dimostro che questa pressione è
La pressione esterna totale è quindi dove è la pressione atmosferica. Dato che la trasformazione è quasistatica la pressione interna del gas eguaglia sempre e possiamo calcolare il lavoro svolto da questo:


Se integriamo fra e (valore per il quale avviene lo strappo) otteniamo:


Passiamo adesso al calcolo della differenza di energia interna; sapendo che (il gas è biatomico), dobbiamo solo conoscere pressione e volume del gas all'inizio e poco prima della rottura per vedere che:


Abbiamo gia visto che e quindi la quantità minima di calore da dover somministrare al gas per far strappare il tubo è:

[Luca Milanese]

Tutto corretto, a te la staffetta!
Quanto al calcolo della pressione, si può fare in almeno due modi, uno dei quali non richiede di essere spiegato tramite immagini. Lo lascio come bonus per chiunque voglia cimentarsi.

[PeterBorsa]

Scusate se risveglio il topic dopo tanto tempo. Avevo affrontato anche io il problema ma mi metteva in difficoltà il calcolo della pressione, che ho visto non essere presente nella risposta. Vi sarei profondamente grato, se qualcuno riuscisse a proporre un metodo per trovarla o una qualche dispensa in cui si parla di un fenomeno simile. Grazie mille.

[Luca Milanese]

Io ho trovato due modi per il calcolo della differenza di pressione tra interno ed esterno, non so se ce ne siano altri.
1) L'allungamento della circonferenza vale , perciò la tensione nella gomma è . Consideriamo una stretta striscia del tubo, parallela al tubo stesso e sottesa da un angolo . Se consideriamo le tensioni alle due estremità "laterali" della striscia, ciascuna ha una componente radiale, perciò abbiamo che la forza normale agente su questa striscia è , agente verso l'interno. L'area della striscia è , perciò, essendo , otteniamo che la differenza di pressione fra interno ed esterno è
2) Sfruttiamo un'altra definizione di , come incremento di energia meccanica per unità di volume (pensiamo a in termodinamica):
. L'incremento infinitesimo di volume è , mentre, essendo l'energia che consideriamo quella elastica nella gomma, si ha , perciò . Pertanto risulta semplicemente . Ho sottinteso il delta ma credo sia comunque chiaro che questa è la differenza fra le pressioni interna ed esterna.
Purtroppo il primo metodo richiederebbe un'immagine per essere visualizzato bene, spero comunque di essermi spiegato.