243. Reticolo a nido d'ape

[drago]

Dato un reticolo infinito a nido d'ape in cui ogni lato è composto da un filo conduttivo con resistenza pari a .
Detti e due vertici distinti e adiacenti ad uno stesso vertice calcolare le seguenti resistenze equivalenti

• la resistenza equivalente tra i nodi e
• la resistenza equivalente tra i nodi e
• la resistenza equivalente tra i nodi e se il filo tra essi viene tagliato

[Luca Milanese]

Il reticolo è infinito?

[Leo]

Non voglio passare avanti a Drago io che non sapevo neppure che il nido d'ape è costituito da esagoni...ma per vedere se avevo capito il testo: se la resistenza totale dei vari lati è R finita, questo implica che il reticolo non è infinito

[Luca Milanese]

Hai ragione, infatti il mio dubbio è proprio quello. Però se il reticolo non fosse infinito mi sembra che bisognerebbe specificare il numero di esagoni e la posizione dei vertici al suo interno...

[Leo]

Io pensavo Luca che questo fosse un vantaggio per noi perchè uno può immaginare una struttura (per es. un esagono circondato da altri 6) e su quello fare i conti. Non credo che gli potrebbe essere contestato di esser caduto in un caso particolare...

[drago]

Ho corretto il testo, il reticolo è infinito

[Leo]

Sia AB orizzontale con un esagono sopra ed uno sotto di cui fa parte, con un semipiano sopra ed uno sotto. I punti A e B siano connessi con un generatore, A positivo +V e B negativo -V. La corrente diretta sarà . Si considerino ora i due lati dell'esagono superiore adiacenti ad AB, diciamo AD e BE. B ed E sono entrambi a potenziale nullo e quindi possono essere congiunti stabilendo un parallelo di resistenza 2R, in cui giustamente la corrente è I/2 perchè ha resistenza doppia. In sostanza la mia idea è che l'esagono(semipiano) superiore equivale a 2R. Lo stesso quello inferiore. Conclusione secondo me: la resistenza equivalente è il parallelo fra R,2R e 2R cioè .
Si può trovare subito (omettendo AB le resistenze di entrambi i semipiani rimangono invariate e quindi si farebbe il parallelo fra 2R e 2R). Penso che sarebbe giusto che venisse doppia perchè manca il collegamento diretto. Quanto a quella fra A e C secondo me si può fare la serie fra quella già trovata fra A e B e quella che dovrebbe essere uguale fra B e C per avere . Mi rimangono dubbi su queste soluzioni ma ho trovato anche un altro modo di affrontare il problema che dà lo stesso risultato...

[drago]

Mi spiace ma il ragionamento è sbagliato, in quanto secondo la tua notazione i nodi ed non sono a potenziale nullo.
Se mi specifichi meglio il ragionamento alla base di questa assunzione possiamo ragionare su dove sta l'errore concettuale.

[Leo]

Secondo me i due punti sono allo stesso potenziale perchè non risentono del collegamento di A e B ai poli se non per il fatto che la corrente va da A a D e la stessa va da E a B ed è metà di quella che va direttamente da A a B: è quindi come se fossero connessi e praticamente pensavo che è come se, considerando anche l'esagono inferiore, AB fosse in una "bolla" senza che ci fossero altre possibilità di coillegamento con il resto del reticolo. Quindi calcolavo la resistenza equivalente.
Comunque sbagliato per sbagliato di voglio sottoporre un altro ragionamento che conduce allo stesso risultato.
Data sempre la connessione al generatore, ci sarà un flusso di corrente da A a B in ogni istante. Si può supporre ora equivalentemente che questo processo contemporaneo di uscita da A ed entrata in B avvenga in due tempi: prima effluisce da A e poi affluisce in B. L'unico tratto del reticolo percorso sia durante l'efflusso da A che durante l'entrata in B è proprio AB che pertanto risulta percorso dalla corrente 2I doppia di quella che gli competerebbe cioè 2V/R. Allora il semipiano superiore e quello inferiore devono sopperire ciascuno con I/2 e quindi equivalgono ad una resistenza 2R e ritorna il parallelo R,2R e 2R Mi scuso se approfitto della tua pazienza

[drago]

Scusa se rispondo solo adesso ma ho avuto un po'da fare in questi giorni.

Il fatto che la corrente tra e è uguale in modulo e verso a quella tra e è dato dalla simmetria destra/sinistra del circuito ma non ti dà nessuna informazione sui potenziali di e se non che siano opposti ma potrebbero non essere nulli (cosa che effettivamente succede).

Il ragionamento in due tempi mi piace abbastanza (è necessario formalizzarlo meglio, prova a pensare alla sovrapposizione degli effetti) come si distribuiscono le correnti quando escono dal nodo e come rientrano dal nodo prova a pensarci ancora un po'