242. Griglia LC infinita

[Luca Milanese]

Abbiamo una griglia infinita costituita da due fili conduttori rettilinei paralleli. Su uno dei due, a distanza l'una dall'altra, si trovano uguali induttanze . Dal punto medio tra ciascuna coppia di induttanze si estende un altro filo conduttore, che si collega perpendicolarmente all'altro filo parallelo. Su ciascun filo trasversale si trova un condensatore di uguale capacità . Quando onde sinusoidali si propagano con pulsazione in questo circuito, si osserva che la fase tra i voltaggi di due consensatori successivi differisce di una quantità . Dire:
a) qual è l'espressione di in funzione di , e ;
b) qual è la velocità di propagazione dell'onda;
c) in quali condizioni la velocità di cui al punto b) è praticamente indipendente da , e qual è in tale caso il suo valore.

[Leo]

Provo un'idea anche per fare esercizio di Latex. L'onda sinusoidale che si propaga contiene il seno dell'angolo che subisce sfasamento per due motivi. La sua pulsazione è diversa da quella propria della "cella" LC che ho trovato essere . Poi c'è il tempo impiegato dall'onda ad andare da una cella alla successiva che si potrebbe porre secondo me uguale ad l/v, dove v è la velocità di propagazione dell'onda. Io insomma penserei a
1. da cui
2..
3.Quando tende a , tende a 0 con lo stesso ordine e quindi v diventa di l m/s

[Luca Milanese]

I tuoi risultati sono sbagliati, prova a ripensarci scrivendo esplicitamente le leggi di Kirchhoff per alcune celle consecutive. Inoltre, il testo chiede che tu dia un'espressione di solo in funzione di , e , perciò non puoi usare anche la velocità di propagazione dell'onda (che non conosci).

[Leo]

Ho seguito il tuo consiglio ma essendo la prima volta ci deve essere qualcosa che non so o non capisco. Siccome nessuno interviene oso disturbarti ancora. Ho considerato le prime tre maglie e i primi tre nodi. I numeri corrispondono alle maglie e ai nodi mi verrebbero equazioni del tipoe analoghe per i nodi 2 e 3. Poi ho scritto le tre equazioni di maglia per le tensioni. La prima ad es. che contiene il generatore mi verrebbe dove sarebbe l'integrale di : E ora ? Ho fatto vari tentativi di eliminare le sette incognite, ho cercato di risolvere la prima maglia.. ma non so quale tecnica furba usare né se ho impostato bene. Posso avere qualche correzione o hint? Scusami...

[Luca Milanese]

Non devi scusarti di nulla il problema è oggettivamente complesso ed è normale fare parecchi tentativi.
Fai bene a scrivere le leggi delle correnti come hai fatto. Tuttavia non è necessario introdurre nessun generatore all'origine (il circuito pelatro è infinito sia verso destra che verso sinistra). Ti consiglio di scrivere le leggi per le tensioni in maniera ricorsiva, come per le correnti, e di usare saggiamente l'ipotesi su . A quel punto eliminare le incognite diventa più semplice e... ti lascio il resto .

[Leo]

Ho visto interessanti ricorsività scrivendo le relazioni dei nodi e delle maglie. Ma le onde sinusoidali che si propagano nella griglia hanno per argomento più eventuale fase oppure del tipo . E poi queste onde che si propagano (diciamo una tensione sinusoidale) inducono sul condensatore un voltaggio q/C identico? Ovviamente quello che chiedo è legato a come io ho inteso il testo, probabilmente in modo non corretto...

[Luca Milanese]

Se con identico intendi "con la stessa ampiezza", la risposta è sì. Infatti puoi scrivere (e probabilmente l'hai già fatto ):

Dove è una costante che non serve sapere.

[Leo]

Grazie avevo inteso giustamente...Usavo poi la ricorsività con come dici tu e il nodo , ma ho dubbi. Quando integro la prima per ottenere devo integrare fra 0 e t o mettere l'integrale indefinito (sempre che il procedimento sia corretto)? E poi è corretto ottenere semplicemente derivando ?

[Luca Milanese]

Usavo poi la ricorsività con come dici tu e il nodo

Se ho capito la tua convenzione per numerare correnti e cariche, la seconda equazione dovrebbe scriversi non come qui sopra ma come:

E infatti in un post precedente avevi scritto:

Quanto a questo:

E poi è corretto ottenere semplicemente derivando ?

Sì, è corretto, infatti dovresti accorgerti da come hai definito i versi delle correnti e delle tensioni (sempre che io abbia capito le tue convenzioni) che la corrente fluisce proprio verso il piatto del condensatore che porta la carica positiva.
Infine, ti sconsiglio di integrare le tue equazioni, proprio per evitare problemi con i termini di bordo. Piuttosto deriva (e magari posta i tuoi conti completi, ormai dovremmo esserci).

[Leo]

Partendo da derivando l'ultima e sostituendo con conti per me quasi impossibili avrei ottenuto . Se si considera che può essere si troverebbe . Si trova che v è indipendente da se . In questo caso