240. Conduzione in un cilindro

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 9 nov 2020, 23:46

Un cilindro di raggio $2R$ e lunghezza $l$ è costituito nel seguente modo:
in $r<R$ la temperatura $T_{in}$ è mantenuta costante e si produce una potenza costante $w$ (magari grazie ad una resistenza)
per $R\leq r \leq 2R$ è un materiale con conducibilità termica $k$ .
L'ambiente esterno è a temperatura $T_{out}$ , trovare $w$ . (nel caso stazionario ovviamente)

G.kyudo · Messaggio da **G.kyudo** » 10 nov 2020, 21:52

Salve, non sono molto sicuro della mia risposta ma mi piacerebbe provare comunque:

Dalla legge di fourier scriviamo:

$\dfrac {\dot {Q}}{A} = -k \dfrac {dT}{dr}$

Integrando entrambi membri ci ricaviamo:

$\int_{R} ^{2R} \dfrac {\dot {Q}}{A} dr$ = $\int_{T_{in}} ^{T{es}} -k dT$

Ponendo come A= 2 $\pi$ r l poichè essa è l'area del cilindro:

$\int_{R} ^{2R} \dfrac {\dot {Q}}{2 \pi r l} dr$ = $\int_{T_{in}} ^{T{es}} -k dT$

$\dot {Q}$ = $2 \pi l k$ $\dfrac {(T_{in} - T_{fin} )} {ln(2R/R)}$

Il che è equivalente a

$\omega$ = $2 \pi l k$ $\dfrac {(T_{in} - T_{fin} )} {ln(2)}$

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 10 nov 2020, 22:23

C'è un errore, non sei stato molto chiaro tra il secondo e il terzo passaggio. Prova a pensarci

G.kyudo · Messaggio da **G.kyudo** » 11 nov 2020, 0:40

Penso di aver capito l'errore, correggo subito, non so da dove fosse partita una "R" in piú e un "ln" in meno haha

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 11 nov 2020, 11:33

è corretto, puoi postare il 241.

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