239. Pistola a pressione

[Luca Milanese]

Una semplice pistola è costituita da un cilindro cavo di raggio e lunghezza . A un'estremità si trova un setto mobile, mentre nell'altra viene inserito un proiettile anch'esso cilindrico. L'interno del cilindro è riempito con un gas perfetto che si trova inizialmente a temperatura ambiente e pressione atmosferica . Il proiettile viene sparato quando la pressione interna supera un certo valore . Si supponga che la lunghezza del proiettile sia e che il suo raggio sia (con ). In pratica, il proiettile viene leggermente compresso quando è inserito nella pistola. Se è il modulo di Young del materiale di cui è costituito il proiettile, e è il coefficiente di attrito statico fra proiettile e cilindro:
1) determinare l'espressione di in funzione degli altri dati;
2) dire di quanto bisogna muovere (velocemente) il setto per sparare il proiettile.

Edit: il gas è monoatomico.

[Leo]

Seguo il forum da circa un mese(V scientifico) e non capisco i testi come questo nè so scrivere latex. Ho trovato una soluzione immaginando certi processi. Ho determinato con il modulo di Young la forza che preme sulla superficie laterale del proiettile e moltiplicandola per mu ho trovato la forza di attrito. Ho creduto che premendo il grilletto il setto mobile si movesse di un tratto s comprimendo il volume fino a innescare Pc e Tc. Ho pensato ad una adiabatica per Edit. Il proiettile parte e due forze compiono lavoro . La forza di pressione per la sezione del proiettile e la forza di attrito fino ad espellere il proiettile e a ristabilire Po e To. Ho pensato ancora all'adiabatica con il lavoro che abbassa l'energia interna. Mi rendo conto che è tutta fanrtasia mia. Mi scuso con te e capisco se non mi rispondi. Intervengo perchè tanto nessuno è intervenuto...

[Luca Milanese]

Hai fatto benissimo ad intervenire, il forum serve a questo
Quello che hai scritto su forza, attrito, adiabasi ecc... mi sembra corretto. Ti consiglio di provare a completare il tuo ragionamento perché secondo me sei molto vicino alla soluzione (o magari l'hai già ottenuta ).
Quanto al LaTeX, non preoccuparti. Con la pratica ti accorgerai che non è affatto difficile impararlo, e che basta poco per abituarcisi. Per adesso, scrivi pure come ti riesce meglio.
Se ti servono chiarimenti sul testo, basta chiedere.

[Leo]

Ti ringrazio. Ho scritto l'espressione di Pc in funzione dei parametri e di s spostamento del setto. Per il secondo punto ho ricavato s dall'espressione. Calcoli molto complessi. Quando sarà pubblicata la soluzione la confronterò. Mi basta questo.

[east_beast]

Affinché il setto si muovi, la forza dovuta alla pressione dev'essere maggiore della forza d'attrito.
L'espressione della forza d'attrito è, considerando la legge di young, , mentre la forza dovuta a ha modulo uguale a .
Imponendo l'uguaglianza ed utilizzando il noto sviluppo di taylor , ottengo .
Data la velocità del processo, suppongo sia adiabatico (poiché le particelle di gas non fanno in tempo a scambiare calore con l'esterno), con indice adiabatico uguale a , dato che il gas è monoatomico.
Dunque ed essendo anche la sezione del cilindro costante (o meglio, quasi ), allora
Usando questa equazione quando il setto è all'estremità e quando il setto è stato da noi mosso, .
Facendo i calcoli trovo .
Per sapere quanto bisogna muovere il setto, basta sottrarre a , dunque, a meno di errori di calcolo,

[Luca Milanese]

Tutto corretto!
Ti faccio solo notare che, quando sviluppi con Taylor, puoi anche buttare via il secondo termine, in quanto e il secondo addendo è dunque di secondo ordine.

[Leo]

Come supponevo non avevo capito il testo. Infatti io pensavo, e tu mi avevi risposto che ti pareva corretto, che premendo il grilletto si spostava il setto che creava Pc e Tc adiabaticamente. A questo punto partiva il proiettile. Perchè nel testo dice che lui parte quando c'è Pc e quindi qualche altro gliela deve creare...e io pensavo che fosse il setto. Dopo c'è il lavoro che è dovuto a Pc.S e alla forza di attrito e ripristivna le condizioni iniziali con la fuoriuscita del proiettile. Sto pensando alla soluzione corretta di east beast perchè non mi convince. Ma questo è il bello dei problemi..

[Luca Milanese]

A me continua a sembrare che tu abbia capito il testo da quel che scrivi. Il setto, mosso da un grilletto, si muove in modo da ridurre il volume del gas interno e quindi ne aumenta la pressione fino al valore critico . A quel punto, la forza di pressione vince l'attrito e il proiettile parte.
Il problema è tratto dalle Olimpiadi Statunitensi del 2007, testo e soluzione ufficiale sono facilmente reperibili sul loro sito. Magari l'originale è più chiaro della mia traduzione...

[Leo]

Si si ho rivisto è tutto giusto! Dalla soluzione di East Beast mi sembrava che lui dicesse altro...Equivoco...Sono contento