237. Leccalecca che ruota

[Luca Milanese]

Si consideri un leccalecca costituito da una sfera omogenea di raggio e massa attaccata all'estremità di una sbarretta lunga , la cui massa è trascurabile. L'estremità libera della sbarretta è fissata ad un punto di un piano orizzontale e il leccalecca è messo in rotazione attorno a questo punto, in modo che rotolando sul piano il centro di massa della sfera tracci circonferenze con velocità angolare .
Qual è la reazione normale esercitata dal piano?

[east_beast]

Prendo come polo l'estremità fissata della sbarretta, e chiamo il vettore che congiunge e il punto di contatto della sfera col terreno. Chiamo il vettore che collega al cm della sfera e prendo un sistema di assi con verso l'alto.
Le equazione che devo usare sono due, la prima è mentre l'altra è la condizione di puro rotolamento, ossia , dove è la velocità angolare con cui .
Sviluppando la ottengo . Facendo i conti per componenti e usando la ottengo

Edit:

[Luca Milanese]

Il risultato e il procedimento sono corretti, tranne che per , che dovrebbe valere . Comunque credo sia un typo, perchè più avanti i tuoi conti tornano usando questo valore corretto. Se mi dài la conferma, il testimone è tuo.

[east_beast]

Si, confermo che era un typo, infatti il prodotto vettoriale la riga sopra è corretto. Edito