Il primo ha conduttività
Trovare la densità superficiale
236. Cilindri Coassiali
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east_beast
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236. Cilindri Coassiali
Ci sono due lunghi cilindri coassiali conduttori, di raggio 
e 
con 
, l'asse è rivolto verso z e lo spazio tra i cilindri è vuoto.
Il primo ha conduttività
, il secondo ha conduttività infinità sulla superficie esterna. Nel cilindro interno c'è una densità di corrente 
mantenuta costante e uniforme.
Trovare la densità superficiale)
sulla superficie esterna del cilindro di raggio , prendendo come origine 
la metà della lunghezza del cilindro.
Il primo ha conduttività
Trovare la densità superficiale
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Luca Milanese
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Re: 236. Cilindri Coassiali
Per definizione di conduttività, il campo elettrico nel cilindro interno vale:
.
Pertanto il potenziale elettrico nel cilindro interno non è uniforme: ponendone lo zero a, vale infatti:
=-\frac{Jz}{\sigma})
Sempre dall'espressione di
si deduce che, data l'assenza di una componente radiale, il flusso )
su una qualunque superficie gaussiana interna al cilindro stesso è nulla, perciò è in esso presente anche una densità di carica stazionaria uniforme che annulla localmente la carica portata da 
. Da ciò segue che il campo elettrico )
nello spazio vuoto tra i due cilindri dipende solo dalla densità di carica superficiale . Sia )
la sua componente radiale.
La superficie del conduttore di raggio è equipotenziale, e sulla sua superficie esterna la conduttività è infinita, dunque lì è nullo il campo elettrico e il suo potenziale è lo stesso dell'infinito, cioè zero. Dunque per ogni 
vale:
-V(b,z)=-\int_{b}^{a}E_r(r,z)dr \Rightarrow \frac{Jz}{\sigma}=-\int_{b}^{a} E_r(r,z) dr)
Da qui si ricava che è proporzionale a , cioè =zf(r))
e:
 dr)
Inoltre, applicando il Teorema di Coulomb alla superficie del cilindro interno, si ottiene:
}{\epsilon_0}=zf(b) \Rightarrow \sigma_s(z)=\epsilon_0 f(b) z \Rightarrow \lambda(z)=2\pi b \epsilon_0 f(b) z)
Dove)
è la densità di carica lineica del cilindro interno. Il contributo di un tratto 
in posizione 
del cilindro interno a è:
=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r \lambda(z') dz'}{[r^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}})
Poichè il cilindro è molto lungo, per ottenere integro in da 
a 
:
=\int_{-\infty}^{+\infty}dE_r(r,z)=\frac{rbf(b)}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{z'dz'}{[r^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}}=\frac{bf(b)z}{r})
Pertanto=\frac{bf(b)}{r})
, e dunque:
dr}{r} \Rightarrow f(b)=-\frac{J}{\sigma b \ln(\frac{a}{b})})
E si conclude che:
=-\frac{\epsilon_0 Jz}{\sigma b \ln(\frac{a}{b})})
Pertanto il potenziale elettrico nel cilindro interno non è uniforme: ponendone lo zero a
Sempre dall'espressione di
La superficie del conduttore di raggio
Da qui si ricava che
Inoltre, applicando il Teorema di Coulomb alla superficie del cilindro interno, si ottiene:
Dove
Poichè il cilindro è molto lungo, per ottenere
Pertanto
E si conclude che:
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems
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east_beast
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Re: 236. Cilindri Coassiali
Ok, tutto perfetto. La staffetta è tua 