234. Carica immagine

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 12 set 2020, 18:53

Un conduttore ha la forma di un piano infinito in cui un disco di raggio $a$ è sostituito dalla superficie della semisfera di uguale raggio.
La superficie del conduttore è collegata a terra e una carica puntiforme $q <0$ è posta ad una distanza $d$ sopra il centro della semisfera, con $d > a$ .
Determinare in quali punti della superficie del conduttore la densità superficiale di carica indotta è massima e calcolare il valore del massimo.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 15 set 2020, 12:11

Come suggerisce il titolo, il modo migliore per affrontare questo problema è il metodo delle cariche immagine.
Fisso un sistema di assi cartesiani $Oxyz$ tale che il piano conduttore abbia equazione $z=0$ e che la carica $q$ si trovi in $(0, 0, d)$ . Grazie ai teoremi di unicità dell'elettrostatica, se riesco a trovare una distribuzione di cariche (fittizie) tale che il potenziale $V(x,y,z)$ dovuto a esse e alla carica $q$ soddisfi la condizione $V=0$ sull'intera superficie del conduttore (in quanto è collegato a terra), allora il potenziale elettrico nella parte di spazio vuota sarà proprio $V(x,y,z)$ .
Introduco pertanto tre cariche immagine: $q_1=-q$ in $(0,0,-d)$ , $q_2=\frac{a}{d}q$ in $\bigg(0,0,-\frac{a^2}{d}\bigg)$ e $q_3=-\frac{a}{d}q$ in $\bigg(0,0,\frac{a^2}{d}\bigg)$ . Scrivo l'espressione del potenziale:
$\displaystyle V(x,y,z)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\bigg[\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}-\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}}+\frac{qa/d}{\sqrt{x^2+y^2+(z+a^2/d)^2}}-\frac{qa/d}{\sqrt{x^2+y^2+(z-a^2/d)^2}}\bigg]$
Per $x^2+y^2 \leq a^2$ , la superfice del conduttore è descritta da $x^2+y^2+z^2=a^2$ , $z \geq 0$ , mentre per $x^2+y^2 \geq a^2$ l'equazione della superficie è $z=0$ . Inserendo la prima condizione in $V(x,y,z)$ , il primo termine si cancella con il quarto e il secondo col terzo, inserendo la seconda invece il primo termine si elide col secondo e il terzo col quarto, dunque $q_1$ , $q_2$ e $q_3$ costituiscono la distribuzione cercata.
L'espressione $V(x,y,z)$ ovviamente vale solo per il potenziale elettrico sulla superficie del conduttore e nello spazio ad esso esterno, in quanto all'interno è noto che $V=0$ .
La densità di carica indotta avrà modulo massimo nel punto del conduttore più vicino a $q$ , cioè $A=(0,0,a)$ . Per trovarla, ricorro al Teorema di Coulomb:
$\frac{\sigma}{\epsilon_0}=\Delta \vec E \cdot \hat n$
Dove $\sigma$ è la densità superficiale di carica, $\Delta \vec E$ è la differenza fra il campo elettrico appena fuori e appena dentro il conduttore, e $\hat n$ è il versore normale alla superficie e uscente.
In $A$ è $\hat n=\hat z$ . Il campo elettrico appena dentro il conduttore è identicamente nullo, mentre quello appena fuori si trova facilmente conoscendo la posizione delle quattro cariche oppure applicando l'operatore gradiente a $V(x,y,z)$ :
$\vec E_{esterno}(A)=-\frac{q(3d^2+a^2) \hat z}{2\pi \epsilon_0 (d^2-a^2)^2}$
Quindi:
$\sigma_{max}=\epsilon_0 \vec E_{esterno}(A) \cdot \hat z =-\frac{q(3d^2+a^2)}{2 \pi (d^2-a^2)^2}$
Riporto anche, per chi fosse interessato, il mio risultato per $\sigma$ su tutta la superficie del conduttore:
$\displaystyle \sigma(x,y,z) = \Bigg \{ \begin{array}{rl} -\frac{q(d^2-a^2)}{4 \pi a} \big[(a^2+d^2-2dz)^{-3/2}-(a^2+d^2+2dz)^{-3/2}\big] & (x^2+y^2 \leq a^2) \\ -\frac{qd}{2 \pi} \big [(x^2+y^2+d^2)^{-3/2}-a^3 (d^2x^2 +d^2 y^2 +a^4)^{-3/2} \big] & (x^2+y^2 \geq a^2) \\ \end{array}$

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 15 set 2020, 19:45

Perfetto!

Tua la staffetta!

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