Equazioni differenziali

Cirocirotondo · Messaggio da **Cirocirotondo** » 3 set 2020, 10:12

Ciao,
Premetto che sono una capra nelle equazioni differenziali, è già tanto se riesco a risolvere i casi base base

Per questo vi volevo chiedere una situazione che non so risolvere: c'è una pallina che si muove lungo una retta. Si conosce posizione iniziarle, velocità iniziale e l’accelerazione in funzione dello spazio.
Il mio dubbio riguarda il fatto che l’accelerazione è la derivata seconda dello spazio in funzione del tempo... come ci si deve comportare in questo per trovare x(t)?
Grazie mille

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 3 set 2020, 10:37

Ciao!
Ecco come risolverei il problema:
$a=f(x) \Rightarrow \frac{dv}{dt}=f(x) \Rightarrow v\frac{dv}{dt}=f(x) \frac{dx}{dt} \Rightarrow \int_{v_0}^v v dv = \int_{x_0}^x f(x) dx \Rightarrow \frac{v^2-v_0^2}{2}=F(x)-F(x_0)$
dove $F(x)$ è una primitiva di $f(x)$ . Questi primi passaggi sono analoghi a quelli che si fanno di solito per ricavare il teorema dell'energia cinetica. Infatti, poichè l'accelerazione (e quindi la forza) dipendono in questo caso solo da $x$ , si può definire un'energia potenziale ad essa associata.
Riprendendo da sopra:
$\Rightarrow v^2=v_0^2+2[F(x)-F(x_0)] \Rightarrow \frac{dx}{dt}=\pm \sqrt{v_0^2+2[F(x)-F(x_0)]} \Rightarrow dt=\frac{ \pm dx}{\sqrt{v_0^2+2[F(x)-F(x_0)]}} \Rightarrow \pm t = \int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{v_0^2+2[F(x)-F(x_0)]}}$
Se a questo punto sei fortunato, l'integrale sarà risolvibile e potrai invertire il risultato per ottenere $x(t)$ . Alla fine, l'idea chiave era moltiplicare entrambi i membri dall'equazione originale per $v$ , così da passare da un'equazione del secondo ordine (in $a$ e $x$ ) a una del primo ordine (in $v$ e $x$ ).
Spero di essere stato d'aiuto.

Cirocirotondo · Messaggio da **Cirocirotondo** » 7 set 2020, 23:34

Ciao, la spiegazione è molto chiara, grazie mille per l’aiuto!

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