225. Sistema di cariche che esplode

[Leonhard Euler]

Edit: mi hanno fatto notare che il problema precedente era davvero troppo noto
Un gran numero di particelle uguali con una massa e carica , sono distribuite uniformemente all’interno di una sfera di raggio . Si rimuova la superficie che conteneva le cariche che quindi iniziano ad allontanarsi.
Determinare campo elettrico e potenziale dopo un tempo molto lungo e descrivere qualitativamente come si dispongono le cariche nello spazio.

[Luca Milanese]

Sia il numero di cariche. Notiamo per prima cosa che, inizialmente, su una carica a distanza dal centro agisce una forza repulsiva . Infatti, per il teorema di Gauss la carica sperimenta una forza dovuta unicamente alla carica totale interna al guscio di raggio , che, data l'iniziale uniformità della distribuzione di cariche, vale proprio . Segue che l'accelerazione iniziale della particella è , proporzionale alla distanza iniziale dal centro . Quindi cariche più lontane si allontanano più velocemente, per cui si può concludere che la carica totale racchiusa in un guscio di raggio , dove è la distanza variabile nel tempo di una carica dal centro, è costante e vale . Sempre dal teorema di Gauss si ha allora che , cioè . Pongo :

Notiamo che questa equazione è indipendente da , cioè vale per la legge oraria di ognuna delle cariche presenti inizialmente nella sfera (con le condizioni iniziali e ). Sia la sua soluzione: allora la distanza dal centro, in funzione del tempo, di una carica posta inizialmente a distanza è . Pertanto, la distribuzione di carica rimane uniforme in ogni istante. Allora, quando il raggio della sfera di cariche è , l'espressione del campo elettrico è:
per
per
Integrando, con la condizione , si ottiene il potenziale elettrico nello spazio:
per
per

[Leonhard Euler]

A te la staffetta, tutte le idee ci sono e i passaggi algebrici mi sembrano corretti.