Forza di Coriolis tramite un filo

Leonhard Euler · Messaggio da **Leonhard Euler** » 15 lug 2020, 18:13

Una massa $m_1$ si trova sopra un tavolo senza attrito ed è collegata ad una massa $m_2$ attraverso un filo ideale, quest'ultima penzola da un buco sul tavolo. Ad un certo punto viene impressa una certa velocità $v$ alla massa sul tavolo in una direzione arbitraria. Descrivere:
$a.$ Il moto di $m_2$ sia rispetto al tavolo che rispetto al sistema di riferimento non inerziale di $m_1$
$b.$ Impostare (senza risolvere) l'equazione differenziale per il moto nella direzione radiale.
$c.$ Studiare la condizione di stabilità.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 16 lug 2020, 18:06

a. Non ho ben capito il senso della domanda, dato che $m_2$ non fa altro che muoversi in verticale sotto il tavolo. Bisognava dire qualcos'altro?
b. Usando le coordinate polari sul piano del tavolo, $r$ è la distanza di $m_1$ dal buco (l'origine) e $\theta$ è l'angolo che forma la parte di filo sopra al tavolo rispetto a una certa retta di riferimento fissa. Poichè l'unica forza agente su $m_1$ (la tensione del filo) è centrale, il momento angolare $L=m_1 r^2 \dot \theta$ si conserva. Detta $T$ la tensione, valgono $-T=\ddot r -\dot \theta^2 r$ e $T-m_2 g =m_2 \ddot z$ , dove $z$ è l'altezza di $m_2$ da terra. Sommando le equazioni:
$-m_2g=m_1(\ddot r-\dot \theta^2 r) +m_2 \ddot z$
Dal momento che il filo ha lunghezza fissata, $r-z = cost \Rightarrow \dot r=\dot z \Rightarrow \ddot r=\ddot z$ , quindi:
$-m_2 g=(m_1+m_2) \ddot r -m_1 \dot \theta^2 r$
Infine, usando l'espressione di $L$ :
$(m_1+m_2) \ddot r -\frac{L^2}{m_1 r^3}+m_2 g=0$
Arrivati qui, si può moltiplicare tutto per $\dot r$ e poi integrare.
In alternativa, facendo uso della conservazione dell'energia, si poteva subito ottenere:
$E=\frac{m_1}{2}(\dot r^2 + \dot \theta^2 r^2)+\frac{m_2}{2} \dot r^2+m_2 rg$
L'energia iniziale è determinata dalla distanza $r$ iniziale e dalla direzione di $\vec v$ rispetto al filo (altrimenti sappiamo solo che $\dot r_0 ^2 + \dot \theta_0 ^2 r_0 ^2 =v^2$ ).
c. Per prima cosa cerchiamo quando si ha l'equilibrio dinamico ( $\dot r=\ddot r=0$ ). Dall'equazione precedente:
$m_2 g=\frac{L^2}{m_1 r^3} \Rightarrow m_2 g=m_1 r \dot \theta^2$
Cioè la tensione eguaglia il peso di $m_2$ e fornisce la forza centripeta per il moto circolare di $m_1$ .
Usando il dato $v=\dot \theta r$ si ricava il raggio della circonferenza:
$m_2 g =m_1 \frac{v^2}{r} \Rightarrow r=\frac{m_1 v^2}{m_2 g}=R$ .
Per studiare la stabilità, vediamo cosa succede se questo raggio subisce una piccola perturbazione ( $r=R+\epsilon$ ):
$(m_1+m_2) \ddot \epsilon -\frac{L^2}{m_1 R^3}\bigg(1+\frac{\epsilon}{R} \bigg)^{-3}+m_2 g=0$
Sviluppando la potenza di binomio al primo ordine, e sapendo già che $m_2 g=\frac{L^2}{m_1 R^3}$ :
$(m_1+m_2) \ddot \epsilon +\frac{3L^2 \epsilon}{m_1 R^4}=0$
Dunque $\ddot \epsilon =-\Omega^2 \epsilon$ per qualche costante $\Omega$ reale, cioè il sistema va incontro a oscillazioni sinusoidali, e dunque l'equilibrio è stabile.

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