216- Svolgere e riavvolgere

bosone · Messaggio da **bosone** » 14 giu 2020, 11:22

Un cilindro con asse verticale di raggio r e altezza piccola è fissato su un piano perfettamente liscio. Un filo inestensibile di massa trascurabile è fissato con un estremo ad un punto della sua superficie laterale, avvolto esattamente k volte al cilindro e con l'estremo libero connesso ad un blocco poggiato sul piano liscio (fare la figura in cui si visualizza la situazione dall'alto). Al blocco viene impressa una velocità v diretta verso l'esterno come il raggio vettore $\vec r$ . Si chiede il tempo totale che il blocco impiega a svolgere e riavvolgere completamente il filo al cilindro.
(Si consiglia di indicare con l la lunghezza corrente del filo svolto, con $\omega$ la velocità angolare con cui si svolge la parte avvolta e di esprimere $\omega$ in funzione di l)

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 14 giu 2020, 12:16

La parte di filo svolta inizialmente ha lunghezza nulla?

bosone · Messaggio da **bosone** » 15 giu 2020, 10:21

Certamente!

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 15 giu 2020, 11:23

Scelgo un sistema di cordinate polari con l'origine nel centro del cilindro e l'angolo $\theta$ crescente nel verso in cui si muove il blocco. La posizione $\vec P$ del blocco, mentre il filo si sta svolgendo, vale allora:
$\vec P=r \hat r -l \hat \theta$
dove con $l$ indico la lunghezza della parte di filo svolta come suggerito. Vale inoltre:
$l=\theta r$ , da cui $\dot l=\dot \theta r$ e $\dot \theta=\frac{\dot l}{r}$
Derivando $\vec P$ per ricavare la velocità ottengo:
$\vec v=r\dot \theta \hat \theta -\dot l \hat \theta +l \dot \theta \hat r=l\dot \theta \hat r$ .
Poichè la forza netta agente sul blocco è data dalla tensione del filo, che ha direzione perpendicolare alla velocità ( $\vec T=T\hat \theta$ ), il modulo della velocità si conserva:
$l\dot \theta = cost = v$ .
Sostituendo l'espressione della velocità angolare precedentemente trovata:
$l\frac{\dot l}{r}=v \Rightarrow ldl=rvdt$
Integrando fra $0$ ed $L=2\pi k r$ (lunghezza totale del filo) si ricava il tempo di srotolamento:
$\frac{L^2}{2}=rvt_1 \Rightarrow t_1=\frac{2 \pi^2 k^2 r}{v}$
A questo punto il blocco descrive una semicirconferenza di raggio $L$ e centrata nel punto in cui il filo è fissato al cilindro, in un tempo $t_2=\frac{\pi L}{v}=\frac{2\pi^2 k r}{v}$
Infine il filo si riarrotola attorno al cilindro: la situazione è simmetrica a quella della fase di srotolamento.
$L=l+\theta r \Rightarrow \dot l =-\dot \theta r$
$\vec P=r\hat r+l\hat \theta \Rightarrow \vec v=-l\dot \theta \hat r \Rightarrow v=l\dot \theta =-\frac{l \dot l}{r} \Rightarrow -ldl=rvdt$
$\Rightarrow \int_{L}^{0}-ldl=rvt_3 \Rightarrow \frac{L^2}{2}=rvt_3 \Rightarrow t_3=\frac{2 \pi^2 k^2 r}{v}$
Quindi $t=t_1+t_2+t_3=\frac{2 \pi^2 kr (2k+1)}{v}$

bosone · Messaggio da **bosone** » 15 giu 2020, 17:43

Sei stato perfetto e, secondo me, molto veloce. Perchè il tuo procedimento è complesso e calcoloso come quello del promotore del testo. Io avevo trovato una soluzione più semplice osservando che $l.dl/dt=(1/2)d(l^2)/dt=vr/2$ è costante. Siccome v=ds/dt integrando si trova che lo spazio percorso dal blocco è proporzionale al quadrato della lunghezza svolta da cui è banale trovare il tempo di avvolgimento/svolgimento cui va aggiunta la semicirconferenza. Vai vai vai con il 217!

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