213. Tre Cilindri in rotazione

[east_beast]

Tre cilindri, di uguale massa e dimensione, sono disposti in fila, con gli assi paralleli.
Il cilindro 1 è in contatto con il 2, il 2 è in contatto con l'1 e il 3, e il 3 è in contatto con l'2.
Ogni cilindro inizialmente ruota a velocità angolare intorno al proprio asse, tuttavia i corpi sono soggetti alla forza d'attrito, a meno di non trovarsi in condizione di puro rotolamento in ciascun punto di contatto. Trovare la velocità angolare di ogni cilindro a "Regime", ossia dopo un tempo arbitrariamente lungo.

[Luca Milanese]

Forse c'è un typo alla fine della seconda riga?

[east_beast]

Ah sì, correggo subito.

[Luca Milanese]

Mi viene . Se è corretto, posto il procedimento.

[east_beast]

Si, il modulo di ogni velocità angolare è corretto, attenzione però a specificare i segni.
Posta pure

[Luca Milanese]

Per ragioni di simmetria, la forza d'attrito agente fra i cilindri e è uguale in ogni istante a quella agente fra i cilindri e , e le velocità angolari di e hanno in ogni istante stesso verso e modulo. I tre cilindri raggiungono la situazione di regime quando il ha velocità angolare avente lo stesso modulo e verso opposto a quella di e . Chiamo il modulo di questa velocità angolare. Sul agisce in ogni istante un momento torcente di intensità doppia rispetto a quello agente su , quindi la sua variazione di velocità angolare (considerata in segno) è doppia rispetto a quella del cilindro , che vale :
.

[east_beast]

Ok, Corretto!
Ti faccio notare che puoi ottenere lo stesso risultato anche non supponendo che le forze d'attrito siano uguali, difatti non ho specificato che i coefficienti d'attrito siano uguali. Vai col prossimo se vuoi.

Faccio una domanda rivolta a tutti, in quanto ho un dubbio che non riesco a risolvere da solo. Se prendo il sistema formato dai tre cilindri, si dovrebbe conservare il momento angolare totale , in quanto ci sono solo momenti torcenti interni. Tuttavia, in questo problema, la quantità che si conserva è , dunque anche .
Questo però non mi sembra essere il momento angolare, che dovrebbe invece essere , rispetto al Centro di Massa.
Il momento angolare non mi sembra conservato sinceramente, e a meno che non stia sbagliando qualcosa anche nei calcoli non torna la conservazione di . Dove sbaglio?
Ringrazio chiunque mi voglia rispondere.

[Luca Milanese]

Penso dipenda dal fatto che i cilindri sono fissi nello spazio, quindi su di essi agiscono delle forze che bilanciano l'attrito e che forniscono un momento torcente esterno.

[east_beast]

Si ci può stare, grazie

[Pigkappa]

Bonus question... Assumendo che la forza di attrito e' costante in modulo se i cilindri strisciano, e nulla se non strisciano, possiamo trovare ?