195. SNS, 2018-1

[bosone]

La legge di Gauss per la gravità implica che, se la Terra fosse una sfera solida di densità uniforme, un oggetto puntiforme lanciato dal polo nord in un tunnel privo di attrito coincidente con il proprio asse di rotazione, completerebbe un'oscillazione armonica in 84 minuti.
a) Mostrare che, trascurando la rotazione, lo stesso risultato si otterrebbe per un qualunque tunnel sotterraneo e privo di attrito fra due suoi punti
b) Discutere l'effetto della rotazione della Terra sul moto nel tunnel nei due seguenti casi: le due estremità hanno la stessa latitudine; le due estremità hanno la stessa longitudine

[Luca Milanese]

a) Siano ed la massa e il raggio della Terra ed la distanza (variabile) dell'oggetto dal centro della Terra. Fissiamo poi un sistema di riferimento cartesiano tale che il tunnel giaccia sull'asse e che i suoi due estremi si trovino alle ascisse e . Per il Teorema di Gauss per la gravità (o per il secondo Teorema del guscio) sull'oggetto agisce un campo gravitazionale dato da , perchè la massa della Terra esterna al guscio di raggio non esercita alcuna forza netta al suo interno. Dato che trascuriamo attrito e rotazione, ci interessa solo la componente di parallela al tunnel, cioè la sua componente , che vale . Da qui concludiamo che vale , equazione di un moto armonico semplice di periodo .
b1) come prima, . Osserviamo però che, avendo gli estremi del tunnel la stessa latitudine, il tunnel è perpendicolare all'asse di rotazione della Terra, e ruota con essa (e con l'oggetto) attorno al proprio centro con velocità angolare data dalla rotazione terrestre. L'accelerazione netta subita dall'oggetto lungo vale allora , dove l'ultimo termine è dovuto alla forza centrifuga apparente (si ottiene la stessa espressione di andando in coordinate polari). Ma eseguendo il conto viene, con ottima approssiamazione, . Ciò significa che tutta la forza gravi1tazionale fornita dalla Terra serve a mantenere il corpo in rotazione, così che esso, lasciato andare nel tunnel, non vi cade dentro, ma rimane in rotazione attorno all'asse terrestre al livello del terreno.
b2) in questo caso, il tunnel è parallelo all'asse di rotazione della Terra, e come prima la forza centripeta necessaria è fornita completamente dalla componente di diretta verso l'asse di rotazione (cioè quella perpendicolare al tunnel), avente modulo . Di conseguenza, la rotazione non influisce sul moto lungo il tunnel, e si ottiene la stessa equazione del punto a).

La risposta che mi è venuta al punto b1) mi sembra abbastanza strana, per cui probabilente ho cannato almeno quel punto...

[east_beast]

Bhe stavo scrivendo in latex ma mi hai preceduto Complimenti, anche a me viene identico e credo sia corretto! Volevo chiederti, come ricavi l'espressione di in coordinate polari? Non è più veloce in cartesiane (come hai fatto nella soluzione)?

[Luca Milanese]

Mi stavo riferendo al caso generale in polari, dove, definito il vettore posizione come , derivandolo due volte rispetto al tempo si ottiene . Se, in questo problema, scegli come piano quello individuato dalla rotazione del tunnel come in b1, puoi ricorrere direttamente al primo termine dell'espressione qui sopra.
P. S. Pensa che ho dovuto scrivere due volte la soluzione perchè la prima volta non avevo salvato il testo .

[east_beast]

Credo di aver capito, il termine di Coriolis è nullo poiché sempre perpendicolare al tunnel giusto?

[Luca Milanese]

Sì, non l'ho considerato anche prerchè sarebbe fornito dalla forza normale delle pareti del tunnel.

[bosone]

Tutto perfetto Luca. Vai con il 196

[Luca Milanese]

Come mi faceva notare bosone in privato, in realtà c'è un errore nel punto b1 della mia soluzione. Infatti, benchè l'ordine di sia , quel termine non è trascurabile, perchè anche è di quell'ordine. Quindi succede che , da cui un moto armonico con un periodo leggermente maggiore di quello del punto a). Chiedo scusa per l'erroraccio .