193. SNS 2019-2020 Problema 5

[east_beast]

Nel vuoto, in assenza di gravità e altre forze, un cilindro di raggio R e massa M, localizzata omogeneamente sulla sua superficie laterale, ruota con velocità angolare intorno al suo asse di simmetria. Il suo baricentro è in quiete rispetto ad un osservatore esterno. Successivamente un punto materiale di massa investe il cilindro seguendo una traiettoria nel piano perpendicolare all'asse di rotazione del cilindro, lungo una linea retta che interseca il baricentro del cilindro, con velocità . L'urto è totalmente anelastico e la particella rimane attaccata alla superficie rotante del cilindro. Il cilindro, con la massa aggiuntiva attaccata, continua a ruotare e, quando ha compiuto una rotazione di un angolo , dallo stesso punto del cilindro dove si è attaccata la massa m, si distacca un punto materiale di massa , perdendo istantaneamente aderenza con la superficie. Nella risoluzione del problema si assuma che la direzione dell'asse di rotazione del cilindro rimanga fissa e si trascuri l'attrazione gravitazionale tra le masse.
1) Calcolare fino al primo ordine in il rapporto tra l'energia cinetica della particella emesssa e quella incidente, nel sistema dell'osservatore esterno.
2) In quali condizioni rispetto ai termini del problema si verifica , cioè il processo estrae energia dal cilindro che ruota, nel limite

Achtung: Non conosco univocamente la soluzione del problema, non essendo stata pubblicata la risoluzione, ma può essere interessante discuterne.

[Luca Milanese]

Dunque... ecco un primo tentativo:
1) Dopo l'urto del punto materiale di massa , il cilindro iniza a traslare con una velocità data dalla conservazione della quantità di moto: . Continua inoltre a ruotare con velocità angolare data dalla conservazione del momento angolare: . Quando il nuovo punto materiale di massa si stacca, la sua velocità rispetto al cilindro è semplicemente la velocità tangenziale che aveva un istante prima: . Questa però non è la velocità di nel sdr del laboratorio. Considerando anche la velocità del cilindro, si ottiene che la velocità di vale . Osservando ora che il rapporto fra l'energia cinetica della particella emessa e quella della particella assorbita vale , sostituendo i valori ottenuti si ricava , che al primo ordine in diventa .
2) Mandando a e imponendo , rimane , che è la condizione cercata.
Che ne dite?

[Neutrino]

Dunque... ecco un primo tentativo:
1) Dopo l'urto del punto materiale di massa , il cilindro iniza a traslare con una velocità data dalla conservazione della quantità di moto: . Continua inoltre a ruotare con velocità angolare data dalla conservazione del momento angolare: . Quando il nuovo punto materiale di massa si stacca, la sua velocità rispetto al cilindro è semplicemente la velocità tangenziale che aveva un istante prima: . Questa però non è la velocità di nel sdr del laboratorio. Considerando anche la velocità del cilindro, si ottiene che la velocità di vale . Osservando ora che il rapporto fra l'energia cinetica della particella emessa e quella della particella assorbita vale , sostituendo i valori ottenuti si ricava , che al primo ordine in diventa .
2) Mandando a e imponendo , rimane , che è la condizione cercata.
Che ne dite?

Per me il procedimento è buono e la risposta finale è quella giusta. L'unica osservazione è che se si vuole al primo ordine in bisogna ancora un po' lavorare sull'espressione che hai trovato, sviluppando i quadrati del termine in parentesi quadra, moltiplicando per la parentesi tonda e buttando via tutti i termini del secondo e terzo ordine che ne risultano.

[Luca Milanese]

Hai ragione, ho dimenticato la parentesi quadra... appena posso sistemo .

[east_beast]

Mi sembra ragionevole, prova a completare il risultato!

[Luca Milanese]

Allora, svolgendo i quadrati nella parentesi quadra, moltiplicando per la parentesi tonda e trascurando i termini di ordine maggiore o uguale a , viene fuori . Mi è confortante vedere che si riduce, nel secondo puno, allo stesso risultato ottenuto prima .

[Neutrino]

ripensandoci meglio però, il problema è più complicato di così. in realtà viene chiesto al primo ordine in ed addirittura la domanda 2) chiede una soluzione nel limite , cioè all'ordine zero in .

In questo ordine di approssimazioni sono convinto che la soluzione di Luca vada benissimo, ma per essere sicuri bisognerebbe rivedere un po' i calcoli. in effetti dopo il primo urto il centro di massa del sistema viaggia a velocità , e questo va bene. Il problema però è che il centro di massa del sistema non sta più sull'asse del cilindro, ma sta a distanza dall'asse del cilindro. Quindi m fa un moto circolare con raggio intorno al centro di massa e l'asse di simmetria del cilindro fa un moto circolare di raggio

quindi il momento d'inerzia del sistema dopo il primo urto NON è e la velocità angolare NON è . Il momento d'inerzia del sistema andrebbe ricalcolato tenendo presente la distanza ed usando il teorema di Steiner, e andrebbe ricalcolato di conseguenza. e insomma, tutto si complica non poco.

ripeto, al primo ordine in quasi sicuramente alla fine non cambia niente, però......

[Neutrino]

Dopo due paginate fitte di calcoli mi torna molto simile a prima, ma non uguale. Ottengo



cioè con un 4 al posto di un 2. Ora però devo ricontrollare perché i passaggi sono tanti.
La risposta alla domanda 2) è ovviamente la stessa di prima.

[Luca Milanese]

Direi che mi fido abbastanza dei tuoi calcoli. Certo sarebbe interessante controllare se la soluzione prevedesse o no di considerare lo spostamento dell'asse di rotazione. A questo punto, poichè non ho molte idee per il 194, e se a east_beast va bene, lascerei a Neutrino il testimone.

[east_beast]

Certo, nessun problema. Peccato che la soluzione venisse così contosa, speravo si trovasse qualcosa di più immediato che mi era sfuggito, considerando che faceva parte del test SNS... Anyway, Vai Neutrino!