189. Piano inclinato con molla e attrito

[east_beast]

Tratto dal Morin.
Si consideri un piano inclinato scabro di angolo e con coefficiente di attrito statico , all'estremo inferiore del piano è collegata una molla di costante e lunghezza a riposo , che sostiene un blocco di massa , appoggiata sul piano (più in alto rispetto alla molla).
a) Trovare la compressione massima della molla che permetta al blocco di stare in equilibrio

b) Nella posizione trovata in a), in qualche modo riesci a rendere il piano liscio, e il blocco si muove di conseguenza.
Qual è la relazione tra e affinché il blocco raggiunge l'altezza massima quando la molla è alla sua lunghezza di riposo ?

[Luca Milanese]

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con l'asse parallelo al piano, orientato verso il basso, e l'asse perpendicolare al piano e orientato verso l'alto.
a) Sul blocco di massa agiscono quattro forze: il suo peso, l'attrito, la reazione normale del piano e la forza elastica della molla. All'equilibrio queste forze si annullano:
.
.
Dalla prima equazione si ricava ; dalla seconda, ricordando che , si ottiene . Pertanto, il valore massimo che assume è quello che si ha quando , cioè .
b) Una volta tolto l'attrito, le forze che agiscono sul blocco lungo l'asse (cioè quelle che ci interessano) sono solo la forza elastica e la componente della forza peso. Poichè entrambe queste forze sono conservative, conviene risolvere il problema in termini di energia. Pongo l'energia potenziale iniziale del blocco, avendo definito lo zero dell'energia potenziale gravitazionale alla quota in cui si trova. Se il blocco raggiunge l'altezza massima quando la molla è alla lunghezza a riposo, vuol dire che la sua energia cinetica in quel punto è nulla, quindi la sua energia totale sarà uguale a quella gravitazionale, cioè . Eguagliando e , e sostituendo a il valore precedentemente trovato:
.

[east_beast]

Soluzione perfetta!!
Avanti col 190!