188. Pallone sonda

[Luca Milanese]

a) In un pallone sferico rigido di volume si raccolgono di vapore (trattarlo come un gas perfetto di massa molare ) alla temperatura di gradi centigradi. Calcolare la pressione del vapore all’interno del pallone.
b) Supponendo che esso abbia massa e che l’atmosfera abbia densità , dove è la quota in metri sul livello del mare e valgono e , trovare l’altezza alla quale il pallone si trova in equilibrio (cioè la quota alla quale esso può restare indefinitamente).
c) In realtà il pallone ha una certa energia cinetica e raggiunta la quota di equilibrio esso ha una velocità verso l’alto che gli impedisce di fermarsi. Considerando la velocità piccola (dell’ordine dei metri al secondo) dire qualitativamente perchè il moto è periodico e determinarne il periodo. Può essere utile sapere che per .

[east_beast]

Provo prima i punti a e b
a) Detta la massa di vapore contenuta nel pallone, trattandolo come un gas perfetto, possiamo scrivere l'equazione di stato
con quindi

b) All'equilibrio, le forze agenti sulla sonda sono la spinta di Archimede e il peso della sonda+gas, quindi:




c) Qualitativamente, il moto è periodico perchè una volta superata l'altezza di equilibrio la risultante delle forze punterà verso il basso, facendo scendere la sonda sotto , finché non si fermerà ulteriormente iniziando ad accelerare verso l'alto, e così via

[Luca Milanese]

Tutto corretto .

[east_beast]

Azzardo (fin troppo) il terzo punto.
Come scritto nel punto b) la risultante delle forze (positiva verso l'alto) è , dove .
Posso definire un potenziale per questa forza (essendo entrambi i termini conservativi), ossia
, con

Usando Taylor, espandendo ai primi tre termini, trovo che
detto un punto di equilibrio. lo impongo (il potenziale è definito a meno di una costante additiva), essendo un punto di equilibrio, quindi , che assomiglia al potenziale di una molla, e difatti descrive il potenziale di un moto armonico.
Sapendo che

Ricordando l'equazione del moto armonico, la frequenza di piccole oscillazioni è quindi
ed il periodo è
dal punto b), mentre
quindi . Mi rendo conto che non è molto accurato, ma non credo di saper fare meglio

[Luca Milanese]

Il ragionamento è corretto (fai attenzione ai segni quando scrivi i potenziali!), ma alla fine penso tu abbia fatto un errore di calcolo (dovrebbe venire ). Comunque, il testimone è tuo!.

[east_beast]

Sembra che io abbia invertito i segni Ho sempre dei dubbi in questi casi, potresti illuminarmi piu in generale?

[Luca Milanese]

Vediamo... come tu stesso hai scritto, per una forza conservativa e la relativa energia potenziale vale , che, nel nostro caso, poichè siamo in una sola dimensione, si riduce a . Ora, poichè tu hai scritto:

la risultante delle forze (positiva verso l'alto) è

dovrebbe essere allora , da cui , cioè quello che hai scritto tu dopo ma col segno invertito. È il motivo per cui alla fine ti viene negativo (e immagino che nel calcolare il radicale tu abbia preso solo il modulo di . Questo però, fortuitamente, non ha inficiato il resto del procedimento (che rimane corretto ed è anche un po' diverso da quello che avevo pensato), per cui ti chiedo di confermarmi che il tuo risultato numerico sia diverso da quello corretto solo per un errore di conto.

[east_beast]

Grazie per il chiarimento! Purtroppo sono abbastanza distratto a volte Comunque sì avevo sbagliato a inserire i dati e mi veniva un tempo diverso. Per completezza, in cosa differiva la tua soluzione?

[Luca Milanese]

La mia soluzione, come quella ufficiale, invece di basarsi sui potenziali, usava l'espressione di ottenuta anche da te per impostare un'equazione differenziale fra e , che si riduceva a quella del moto armonico semplice dopo aver impiegato l'approssimazione proposta. Da lì, si ricavava un'espressione di identica alla tua .