Fluidodinamica: come generare più portata

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 13 set 2009, 17:41

Girovagando nel forum mi è tornato in mente un antico dubbio riguardante le origini della portata R di un fluido di densità $\rho$ . Nella prova OliFis di livello scolastico del 2003 veniva proposto un quesito su come incrementare la portata di un fluido e la risposta corretta era ( e ancora è) aumentare la sezione del tubo o la differenza di pressione alle estremità della conduttura. La prima risposta deriva direttamente dalla formula della portata:
$R=Av$ . La seconda è piuttosto comprensibile in modo intuitivo, ma la trattazione matematica mi sembra più ostica.
Ho pensato di combinare le formule di Bernoulli e della continuità della portata per collegare quest'ultima alla ${\Delta}p$ , ma non sono convinto. Questi sono i passaggi:
$R={A_A}{v_A}={A_B}{v_B}$
e
$p_A+{\rho}g{h_A}+{{\rho}{v_A}^2}/2=p_B+{\rho}g{h_B}+{{\rho}{v_B}^2}/2$ ,
da cui si ha:
$p_A-p_B={\Delta}p={\rho}g({h_B}-{h_A})+{{\rho}{v_B}^2}/2-{{\rho}{v_A}^2}/2$ .
Poi sostituendo la velocità con il rapporto tra portata e sezione A, si ottiene:
${\Delta}p=-{\rho}g{\Delta}h+{\frac{{\rho}R^2}{2}}({\frac{1}{{A_B}^2}-{\frac{1}{{A_A}^2}})$ ,
ricordando che ${\Delta}h={h_B}-{h_A}$ .
Mettendo un po' di ordine si ha
$R={A_A}{A_B}{\sqrt{\frac{2({\Delta}p+{\rho}g{\Delta}h)}{{\rho}({A_A}^2-{A_B}^2)}}}$ .
Apparentemente sembra tutto regolare, ma se si studia il caso di un tubo di sezione costante $A_A=A_B$ si nota che il radicando ha il denominatore pari a 0 e ciò implica che la portata diventi infinita. Credo sia improbabile un risultato del genere, in cui in un tubo il fluido scorra a velocità infinita o il volume sia infinito. Come si può superare questo problema? Ho commesso qualche sbaglio nelle sostituzioni?

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 13 set 2009, 19:34

Per quanto riguarda la tua formula il problema è matematico. Infatti quando vai a dividere per $\displaystyle A_A^2 - A_B^2$ i membri dell'equazione, questo termine deve essere necessariamente diverso da zero. D'altronde se $\displaystyle A_A = A_B$ hai velocità costante nei due tratti di condotto presi in considerazione e l'equazione ti si semplifica prima, dandoti la nota legge di Stevino.

In ogni caso conviene che metta un po' d'ordine nei passaggi che fai e che, come suggerisce la soluzione, fissi tutti i parametri tranne la differenza di pressione (fissando la pressione da una parte e non dall'altra).

Per non complicarci la situazione fissiamo il tubo ad un'altezza precisa e costante in modo da lasciar stare le differenze di energia potenziale. Fissiamo la sezione $\displaystyle A$ del tubo preso in considerazione. In questo tratto la pressione $\displaystyle p$ è uguale ovunque, e così anche la velocità $\displaystyle v$ . Fissiamo anche la pressione $\displaystyle p_1$ nel successivo tratto di tubo (di sezione qualsiasi). Ora andiamo a vedere cosa succede variando la pressione $\displaystyle p_0$ nel precedente tratto di tubo, di sezione $\displaystyle A_0$ qualsiasi (ma diversa da $\displaystyle A$ ).
Per la continuità:

$\displaystyle R = Av = A_0 v_0$

Per Bernoulli:

$\displaystyle p_0 + \rho v_0^2/2 = p + \rho v^2 /2$

Se ricaviamo $\displaystyle v_0$ dalla prima equazione e lo sostituiamo in Bernoulli otteniamo:

$\displaystyle v = \sqrt{ \alpha ( \Delta p + c ) } \qquad \Delta p = p_0 - p_1$

con $\displaystyle \alpha, c$ costanti e, precisamente, $\displaystyle c = p_1 -p$ , $\displaystyle \alpha > 0$ se $\displaystyle A_0 > A$ e $\displaystyle \alpha < 0$ se $\displaystyle A_0 < A$ .

Il caso $\displaystyle \alpha > 0$ mi è chiaro: aumentando $\displaystyle \Delta p = p_0 - p_1$ aumenta la velocità. E questa è la soluzione del quesito

Ma se $\displaystyle \alpha < 0$ la velocità aumenta diminuendo $\displaystyle \Delta p$ in modo da rendere l'oggetto tra parentesi il più negativo possibile.

Mi sorge quindi il dubbio: vorrebbe dire che non è possibile avere $\displaystyle A_0 < A$ per avere il liquido che scorre nella direzione descritta (cioè da p_0 a p e a p_1) ? Il quesito è impreciso? O dimentico qualcosa nelle limitazioni (cosa più probabile)? O forse non vale il trucchetto di mettere la costante c? Non saprei.

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 14 set 2009, 19:25

Non sono sicuro di cosa significhino le lettere $\alpha$ e c che hai introdotto nel calcolo. A me esce questa situazione:
$v^2={\frac{\rho}{2}}({\Delta}p+ {\frac{{\rho}R^2}{2{A_0}^2}} )$ .

Quindi suppongo che $\alpha={\frac{2}{\rho}}$ ,

ma non riesco a collegare ${\frac{{\rho}R^2}{2{A_0}^2}}$ alla $c=p_1-p$ .
Oltretutto come fa la densità diviso due ad essere negativa se $\alpha$ è quello che credo di capire dal tuo messaggio?
Un'ultimo dubbio riguarda la pressione variabile nel secondo punto del tubo considerato: perchè solo qui c'è cambiamento di pressione mentre $p_1$ resta fissa?
Oggi sembra proprio essere il festival del dubbio dalle mie parti, anche se lo scienziato James Kakalios dice che in fisica sono più importanti le domande delle risposte... E anche qui sorge qualche incertezza.

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 14 set 2009, 21:09

Ho semplicemente sostituito $\displaystyle v_0$ e ricavato $\displaystyle v$ , non ho detto di aver messo di mezzo la portata. Tra l'altro la tua equazione non è dimensionalmente corretta, mi sa che hai sbagliato qualche calcolo

.

Comunque se ci concentriamo solo sui tratti di tubo precedente e successivo (di sezioni $\displaystyle A_0$ e $\displaystyle A_1$ ) e lasciando stare le variazioni di quota, otteniamo la prima equazione che hai scritto (se volevi far questo non l'avevo capito perchè non avevi specificato a che si riferissero A e B), ovvero:

$\displaystyle R^2 = \frac{2A_0^2A_1^2 (p_0 - p_1)}{\rho (A_0^2 - A_1^2)} = (cost.) \cdot \frac{p_0 - p_1}{A_0 - A_1}$

Se $\displaystyle A_0$ tende ad $\displaystyle A_1$ sappiamo che $\displaystyle v_0$ tende a $\displaystyle v_1$ e, dall'equazione Bernoulli, che anche $\displaystyle p_0$ tende a $\displaystyle p_1$ . Quindi la portata non tende a infinito ma è semplicemente indefinita.

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 14 set 2009, 22:09

Grazie mille per il chiarimento

.
Chiedo venia per non aver specificato all'inizio che i pedici A e B si riferiscono a due diverse sezioni di un tubo,
ma comunque il discorso è chiaro... A parte una cosa: controllando le dimensioni della formula finale della portata al quadrato che hai scritto mi sa che c'è qualche problema:
il risultato esce in ${m^2}/s$ , mentre ci dovrebbero essere i ${m^3}/s$ .
Ovviamente mi pare che la stessa situazione si verifichi anche nella prima formula che ho postato io (pure togliendo di mezzo la differenza di altezza ${\Delta}h$ ).
O si tratta di un altro abbaglio?

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 14 set 2009, 22:37

Credo sia proprio un abbaglio..

ti scrivo le dimensioni usando lo stesso ordine della mia equazione:

$\displaystyle [R^2] = \frac{L^4 \cdot L^4 \cdot \frac{ML}{T^2 \cdot L^2} }{ \frac{M}{L^3} \cdot L^4 } = \frac{L^6}{T^2}$

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 15 set 2009, 22:08

All right now. Grazie per la correzione!

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