185. Filo che si avvolge.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 1 mar 2020, 22:20

Dalle Dispense di Fabio Zoratti:
Un disco di raggio $R$ è fissato rigidamente ad un piano orizzontale, e in punto del suo bordo è fissato un filo inestensibile di lunghezza $l$ . All’altro estremo è fissata una massa $m$ che viene lanciata con velocità iniziale di modulo $v_0$ in direzione perpendicolare al filo. Calcolare in funzione del tempo:
a) la velocità della massa;
b) la sua traiettoria;
c) la tensione del filo.

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 2 mar 2020, 20:08

Ciao! Sono nuovo del forum, provo a rispondere anche se essendo al quarto non ho molta familiarità con le equazioni differenziali più difficili.
Scusami ma non sono molto familiare con il LaTeX, quindi faccio ciò che posso

Innanzitutto considero un sistema di coordinate polari ${\hat{\theta}} , {\hat{r}}$ che ha origine nel centro del disco, con ${\theta}$ che è l'angolo che spazza la parte di filo "arrotolata" al disco.
Se chiamo ${\vec{r}}$ il vettore posizione della massa m allora:
${\vec{r}} = (l - R{\theta}){\hat{\theta}} + R{\hat{r}}$
vado a trovarmi la velocità, derivando rispetto al tempo e ricordando che
$\newline {\dot{\hat{\theta}}} = {\dot{\theta}}{{\hat{r}}} \newline {\dot{\hat{r}}} = - {\dot{\theta}}{{\hat{\theta}}} \newline$
allora
${\vec{v}}={\dot{\vec{r}}} = -{\dot{\theta}}{\hat{r}}(l-R{\theta})$ considerando che il modulo della velocità $|{\vec{v}|$ è ${\dot{\theta}}(l-R{\theta})$
${\vec{v}} = -v{{\hat{r}}$ che è sempre normale al filo, quindi alla tensione. Derivo ulteriormente trovando l'accelerazione
${\vec{a}} = {\dot{\vec{v}}} = -{\dot{v}{\hat{r} -v{\dot{\theta}}{\dot{\hat{\theta}}}$
siccome l'unica forza agente è la tensione ${\vec{T}$ , che ha direzione ${\hat{\theta}}$ , il secondo principio della dinamica ci dice che (1) ${\dot{v}} = 0$ e (2) $mv{\dot{\theta}} = T$ . Quindi v è costante tutto il tempo, possiamo quindi ottenere ${\theta}(t)$ a partire da
$v = {\dot{\theta}}(l-R{\theta})$ integrando in rispetto al tempo abbiamo che
$vt = l{\theta} -{\frac{R{\theta}^2}{2}}$
da cui ottengo (escludendo il segno + dal ${\pm}$ grazie alle condizioni iniziali, ossia che ${\theta}(0)=0$ ) che

${\theta}(t) = {\frac{l}{R}}(1- {\sqrt{\frac{ l^2 - 2vRt}{l^2}}})$
derivando l'espressione e sostituendo nella 2, otteniamo che $T(t) = {\frac{mv^2}{\sqrt{l^2-2vRt}}}$
Per quanto riguarda la traiettoria, devo trovare un modo di esplicitarla, magari in coordinate polari, comunque intuisco sia una spirale. Spero di non aver sbagliato i conti o la sintassi (cosa che sono sicuro avverrà)

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 2 mar 2020, 21:47

La soluzione è corretta! Ci sono solo degli errori che penso essere di battitura (dove hai scritto le derivate dei versori e dove hai scritto l'accelerazione), ma nulla di rilevante.
Per la traiettoria, aspetto ancora qualche giorno prima di postare la soluzione (nel caso qualcun altro volesse provarci). Intanto, puoi tranquillamente postare il 186!

Neutrino · Messaggio da **Neutrino** » 2 mar 2020, 23:47

Beh, per essere onesti east_beast ha già trovato la traiettoria in coordinate polari, avendo scritto che:

$\vec r = (l - R \theta ) \hat \theta + R \hat r$

ed anche che:

${\theta}(t) = {\frac{l}{R}}(1- {\sqrt{\frac{ l^2 - 2vRt}{l^2}}})$

Al più, se uno vuole, prendendo un sistema di riferimento cartesiano $x-y$ con origine nel centro del disco ed orientato in modo che il punto in cui è attaccato il filo sia posto in ${\vec{r_0}} = (R,0)$ si ha:

${\hat{\theta}}\cdot{\hat{x}}=-\sin{\theta}, \quad {\hat{\theta}}\cdot{\hat{y}}=\cos{\theta}, \quad {\hat{r}}\cdot{\hat{x}}=\cos{\theta}, \quad {\hat{r}}\cdot{\hat{y}}=\sin{\theta}$

quindi:

$x(t)= \vec r \cdot \hat x = - (l - R \theta (t)) \sin ( \theta (t)) + R \cos ( \theta (t))$

$y(t)= \vec r \cdot \hat y = + (l - R \theta (t)) \cos ( \theta (t)) + R \sin ( \theta (t))$

east_beast · Messaggio da **east_beast** » 3 mar 2020, 0:51

Neutrino ha scritto: ↑
2 mar 2020, 23:47

Al più, se uno vuole, prendendo un sistema di riferimento cartesiano $x-y$ con origine nel centro del disco ed orientato in modo che il punto in cui è attaccato il filo sia posto in ${\vec{r_0}} = (R,0)$ si ha:

${\hat{\theta}}\cdot{\hat{x}}=-\sin{\theta}, \quad {\hat{\theta}}\cdot{\hat{y}}=\cos{\theta}, \quad {\hat{r}}\cdot{\hat{x}}=\cos{\theta}, \quad {\hat{r}}\cdot{\hat{y}}=\sin{\theta}$

quindi:

$x(t)= \vec r \cdot \hat x = - (l - R \theta (t)) \sin ( \theta (t)) + R \cos ( \theta (t))$

$y(t)= \vec r \cdot \hat y = + (l - R \theta (t)) \cos ( \theta (t)) + R \sin ( \theta (t))$

Neutrino riusciresti a spiegarmi perché ${\hat{\theta}}\cdot{\hat{x}}=-\sin{\theta}, \quad {\hat{\theta}}\cdot{\hat{y}}=\cos{\theta}, \quad {\hat{r}}\cdot{\hat{x}}=\cos{\theta}, \quad {\hat{r}}\cdot{\hat{y}}=\sin{\theta}$ ?

Neutrino · Messaggio da **Neutrino** » 3 mar 2020, 1:05

Per definizione il prodotto scalare fra due vettori è il modulo del primo per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo compreso. Qui si tratta di versori, quindi tutti i moduli fanno 1. Di conseguenza il prodotto scalare fra due versori è semplicemente il coseno dell'angolo compreso. Ora, se fai un disegno di $\hat r$ e $\hat {\theta}$ sul piano cartesiano vedi subito che l'angolo compreso tra $\hat r$ e $\hat x$ è proprio ${\theta}$ , l'angolo compreso tra $\hat r$ e $\hat y$ è $90°-{\theta}$ , l'angolo compreso tra $\hat {\theta}$ e $\hat x$ è $90°+{\theta}$ , l'angolo compreso tra $\hat {\theta}$ e $\hat y$ è ${\theta}$ .

Poi $\cos ({90°-{\theta}})=\sin{\theta}$ e $\cos ({90°+{\theta}})=-\sin{\theta}$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 3 mar 2020, 10:15

Neutrino ha scritto: ↑
2 mar 2020, 23:47
Beh, per essere onesti east_beast ha già trovato la traiettoria

Sì, avevo sbagliato a scrivere l'esercizio. La traiettoria non era da calcolare in funzione del tempo (come east_beast ha fatto), ma scrivendo una delle due coordinate della posizione in funzione dell'altra. Per esempio, detta $r=\sqrt{R^2+(l-\theta R)^2}$ la lunghezza del segmento che congiunge la massa all'origine, e detto $\phi$ l'angolo che questo segmento forma con l'asse delle ascisse, abbiamo $\phi=\theta+\arctan\frac{l-\theta R}{R}$
da cui, con alcuni passaggi, $\phi=\frac{l}{R}-\sqrt{\frac{r^2}{R^2}-1}+\arctan\bigg(\frac{r^2}{R^2}-1\bigg)$
equazione che lega $r$ e $\phi$ .

Neutrino · Messaggio da **Neutrino** » 3 mar 2020, 10:37

185. Filo che si avvolge.

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