Corpi rigidi in equilibrio

[astrototi13]

Ciao ragazzi, vi propongo un problema che riesco a risolvere solo parzialmente e di cui non capisco il procedimento:
una asticella di massa m e lunghezza l è appoggiata ad un cerchio di raggio R. L’asticella forma un angolo θ con il piano orizzontale. La sua estremità superiore poggia sul cerchio ed è tangente ad esso. L’attrito in tutti i punti di contatto è tale da garantire che il sistema sia in equilibrio.
• Determinare la forza d’attrito tra il cerchio ed il piano orizzontale.
• Qual è il il minimo coefficiente d’attrito tra l’asticella ed il cerchio affinchè l’equilibrio sia possibile?

Le soluzioni sono
Fs = 1/2mg (sinθcosθ/1 +cosθ)
µ > sinθ/1 +cosθ
Sapreste spiegarmelo?

[Luca Milanese]

Chiamo la reazione normale tra asticella e cerchio, il peso del cerchio, la reazione normale fra asticella e piano, quella fra cerchio e piano, l'attrito tra piano e asticella, l'attrito tra asticella e cerchio, l'attrito tra cerchio e piano. Si ha che è applicata al punto di appoggio fra piano e asticella, è parallela al piano e diretta verso il cerchio; che è applicata al punto di appoggio fra cerchio e asticella, è parallela all'asticella ed è diretta verso terra quando esercitata all'asticella sul cerchio, e verso l'esterno quando applicata dal cerchio all'asticella; che è applicata al punto di appoggio fra cerchio e piano, è parallela al piano e diretta verso l'asticella. Imponendo le condizioni di equilibrio (, , ) sia all'asticella che al cerchio, si ottengono queste 6 equazioni:
;
;
;
;
;
.
Ho semplificato nella terza e nella sesta.
Per trovare , basta combinare la terza, la quinta e la sesta, e si ottiene proprio .
Per il secondo punto, ricordiamo che, per l'attrito statico, detto il coefficiente di attrito, vale , da cui . Sostituendo a ed le espressioni che si ottengono dalla terza e dalla sesta equazione, si ottiene la tesi .

[bosone]

Ho visto la soluzione di Luca, corretta ma secondo me ridondante al punto 1 con equazioni non necessarie. Infatti indicando con T la reazione normale del cerchio sull'asta, all'equilibrio deve annullarsi il momento rotatorio sull'asta rispetto al suo punto di contatto con il piano ovvero da cui appunto . Ora si osserva che il momento rotatorio sul cerchio che all'equilibrio deve annullarsi comporta che avendo indicato con la forza di attrito orizzontale richiesta e con la forza di attrito sul cerchio diretta lungo l'asta. Si deduce che . Per cui ora basta aggiungere che all'equilibrio la risultante orizzontale delle forze sul cerchio deve annullarsiper ottenere con metà delle relazioni usate da Luca

[Luca Milanese]

Sì, hai ragione dicendo che ho scritto cose che non servivano, infatti anch'io alla fine ho usato solo 3 delle equazioni. Volevo comunque far vedere tutto quello che si poteva ricavare dal problema.

[bosone]

ma si pensavo anch'io che questo era lo spirito che aveva la tua soluzione...bene così