SSSUP 2009 n 3

[mrossi]

Una particella puntiforme di massa m = 300 g è appesa a un filo inestensibile, di lunghezza , legato su in'impalcatura perfettamente simmetrica a sua volta fissata a una piattaforma rotante. Il punto in cui il filo è collegato all'impalcatura appartiene all'asse di rotazione della piattaforma. Ci si accorge che se la velocità angolare della piattaforma supera un valore minimo la pallina si sposta dalla verticale di un angolo .

a) Trovare il valore di
b) Quanto vale l'angolo se la velocità angolare è di un giro al secondo?
c) Qual è la forza orizzontale esercitata dall'asse di rotazione sulla piattaforma?
d) Se all'improvviso il filo si spezza, cosa accade alla velocità angolare della piattaforma? Aumenta, diminuisce, rimane costante?

[Stardust]

Non so se ho compreso bene la traccia: il filo che sostiene la massa è appeso ad una piattaforma rotante e cade perpendicolarmente rispetto ad essa, come se da un ventilatore agganciato al soffitto scendesse un piccolo peso?
In caso di risposta affermativa, questa è la mia interpretazione.
Il problema propone l'analisi di un pendolo che percorre una traiettoria circolare lungo un piano orizzontale seguendo il moto rotatorio della piattaforma sovrastante cui è collegato. Analizzando le forze in gioco nel sistema, ovvero il peso P della massa appesa, la tensione T della corda e la forza centrifuga F dovuta alla rotazione, si ottengono le seguenti relazioni:

e
.
Combinandole si ha:
.
Non riesco a individuare il valore minimo di perchè si noti lo spostamento dalla verticale: potrebbe dipendere dalla percezione dell'osservatore? Se così fosse si potrebbe assegnare a un valore di 1° o 2° e ricavare la velocità angolare minima per avere uno spostamento dalla verticale percettibile.
Il punto b ci fornisce , così si verifica che:
.
Poi viene richiesta la forza esercitata dall'asse di rotazione sulla piattaforma: questo punto non è molto chiaro. Trattandosi di una rotazione, a mio avviso bisognerebbe tener conto del momento della forza, anche se non ho ancora elaborato una soluzione.
Infine il punto d introduce alla considerazione della conservazione del momento angolare. Non venedoci data l'inerzia della piattaforma, suppongo che la risposta debba essere qualitativa: se si rompe la corda, il sistema perde il contributo all'inerzia dato dai famosi 300 g, e quindi incrementa la sua per mantenere il prodotto
costante. Aspetto di sapere qualcosa in più da mrossi o qualcuno del forum informato sul punto c, che a prima vista non riesco ancora a capire. By the way, c'è qualcuno che ha provato per il Sant'Anna il 7-8 settembre? Quanti problemi c'erano e qual era il tempo a disposizione?

[MrTeo]

Anche a me il testo non sembra chiarissimo (ormai tutti copiano la SNS, anche in questo )... se il filo corrisponde con l'asse (è esattamente in verticale) non si muoverà mai... se è appoggiato all'asse invece abbiamo un infinitesimo di angolo di inclinazione iniziale che ci permette di sviluppare i conti...

[mrossi]

Io ho provato e infatti ho postato i testi dei problemi per controllare le mie soluzioni.

Per quanto riguarda il problema, ti posso dire che anch'io ho avuto gli stessi dubbi circa il punto a e il punto c. Per quanto riguarda il punto d, invece, credo che la velocità angolare della piattaforma rimanga uguale per il fatto che non agiscono forze esterne che modificano il momento angolare totale, quindi anche la pallina staccandosi non modifica il proprio a scapito di quello della piattaforma.

Per il punto a io ho trovato tale per cui è < 1.
Per il punto b siamo d'accordo.
Per il punto c, spero di ricordarmi bene il testo. L'unica forza orizzontale che agisce è quella dovuta alla tensione del filo nel punto in cui è appeso, quindi forse intendono la forza che bilancia questa forza orizzontale affinche non ci siano traslazioni, comunque è effettivamente poco chiaro.

Parlando delle prove, abbiamo fatto una prova di matematica da 4 problemi e 4 ore, una di "problem solving" da 3 problemi in 3 ore nel pomeriggio, una di fisica da 4 problemi e 4 ore il mattino dopo e infine un paio d'ore di test attitudinali, questionari e test di logica.

[CoNVeRGe.]

Per il punto c credo che intendano la forza che deve essere applicata alla piattaforma da ciò che la mantiene (quest'asse rotazionale) per avere quella situazione. (quindi una forza di modulo e verso uguali alla componente orizzontale della forza di tensione che agisce sulla massa)

Per il punto d direi che la velocità rimane costante. Se prendiamo due attimi di tempo vicinissimi e separati dalla rottura del filo, abbiamo che il momento angolare totale in direzione dell'asse di rotazione è costante. Ma è costante anche il momento angolare della pallina visto che posizione e velocità non cambiano, dunque è costante anche il prodotto per l'impalcatura.

[mrossi]

Converge per il punto a tu cosa diresti?

[CoNVeRGe.]

Il punto a non non è affatto chiaro. Si può dire che siccome ad ogni angolo corrisponde una determinata velocità di rotazione allora il minimo per un preciso angolo di inclinazione si ha per l'unico valore determinato dall'equazione trovata sopra. Non so se vogliono sapere questo, ma non mi viene in mente altro.

[mrossi]

Suppongo che sia per quello, perché chiaramente se con la piattaforma ferma la pallina si trova sulla verticale e si mette in rotazione la piattaforma sulla pallina non agiscono forze. Ah però ora che ci penso mi ricordo che faceva notare tra parentesi che la pallina si trova in equilibrio statico sotto la velocità critica, quindi allora intende il valore minimo di velocità angolare per cui la pallina esce da questa condizione di equilibrio statico, che dovrebbe essere appunto quello per cui l'equazione è determinata.

[Stardust]

Sono d'accordo con CoNVerGe per il punto a; naturalmente è necessaria anche la condizione .
Per la forza orizzontale "misteriosa" basta quindi porre:
. E' giusto?
Per la conservazione del momento angolare: non c'è alcuna forza esterna agente, però l'inerzia complessiva del sistema cambia comunque, o no?
PS: Grazie a mrossi per le informazioni sui test al Sant'Anna e in bocca al lupo!