164. Decagono

[nicarepo]

Sia dato un decagono in cui le diagonali (non i lati) sono formate da resistori di resistenza . Tra i dieci vertici si scelgano tre punti contigui e uno a caso non vicino ai primi tre (quindi in uno dei 5 posti rimanenti). Calcolare la resistenza equivalente tra il punto scelto a caso e uno dei due vertici esterni dei tre scelti in precedenza.

[Dudin]

Dato che il problema é irrisolto puoi inviare degli hint/soluzione?

[drago]

dato che il problema mi sembra irrisolto da troppo tempo propongo una soluzione usa un cannone ma mi sembra il modo più svelto di risolverlo.

Premetto che userò la trasformata di Fourier finita che si riassume nelle seguenti formule: date tensioni allora si possono riscrivere in una nuova ennupla di tensioni attraverso le seguenti formule



dove è l'unità immaginaria e la prima equazione trasforma le nelle e la seconda è la trasformazione inversa; con queste trasformazioni data un ennupla le corrispondenti sono uniche e viceversa (attenzione le non hanno nessun significato fisico sono solo un modo per fare meglio i conti).

Veniamo al problema, prendo un n-agono regolare dove le diagonali sono composte da resistenze tutte uguali e pari a e volgiamo trovare la resistenza equivalente cioè quella tra il nodo e il nodo ;
per calcolarla attacchiamo un generatore di corrente costante tra i nodi ed di intensità e andiamo a calcolarci la differenza di potenziale tra i due nodi, così .

chiamo il potenziale sull'ennesimo nodo e impongo che

(posso farlo perché devo specificare lo rispetto cui riferisco i vari potenziali);

scrivo la prima legge di kirchhoff per l'ennesimo nodo

dove è pari a se i nodi ed sono collegati da una resistenza, altrimenti è nulla, è la corrente esterna che impone il generatore di corrente quindi ed è nulla altrimenti.



quindi bisogna risolvere il sistema di equazioni (dove si è assunto )


usando la trasformata di Fourier si può scrivere



e per unicità (l'equazione vale per ogni ) posso prendere l'uguaglianza componente per componente


quindi


antitrasformando


con qualche conto e usando l'identità si ricava


in particolare per il nostro problema




















spero di essere stato chiaro nei passaggi.

[Pigkappa]

La frequentazione del forum è crollata a precipizio dopo le ammissioni in SNS, come succede sempre... Non so se nicarepo legge ancora, direi che drago tu posta pure il prossimo problema per la staffetta e speriamo che sia così bello da ripopolare il forum

[nicarepo]

Nonostante non riesca a capire la soluzione (non ho proprio le basi matematiche), il risultato è giustissimo. Mi dispiace aver bloccato la staffetta, ma la soluzione a cui avevo pensato era decisamente più semplice. Il punto è che era approssimata con un errore relativo del 10%, quindi ero indeciso se fosse corretta o meno (la soluzione precisa si poteva trovare con i simulatori). Poi c'è stato l'esame della Normale ed è iniziata l'università, quindi ho rimandato... Ringrazio Drago per essersi interessato, immagino sia una soluzione estremamente elegante, e mi scuso per l'inconveniente. Ad ogni buon conto colgo l'occasione per chiedere se è corretto frequentare il forum da universitario, essendo pensato per i liceali che approcciano le Olimpiadi. In caso di risposta affermativa, sarò ben lieto di continuare a partecipare ed essere attivo sul forum (magari evitando di postare problemi di questo tipo)

[Pigkappa]

Sei il benvenuto, il forum è aperto a tutti, cerchiamo solo di tenere il livello umano così da non scoraggiare studenti del liceo. Ma un problema o soluzione avanzato ogni tanto va bene. La soluzione di drago in particolare è ottima perché il cannone che usa non è così astruso e perché i conti non sono molto difficili. Questo metodo potrebbe essere utile nell'arsenale di un ragazzo che va alle IPhO.

Cosa non capisci della soluzione di drago? A me non sarebbe mai venuta in mente ma leggendola mi sembra chiara (e di esperienza con trasformate di Fourier ne ho pochissima).