163. Corsa per biologi

[.Ruben.]

Un coniglio si muove arbitrariamente nel piano mantenendo il modulo della sua velo-
cità costante. Una volpe lo insegue muovendosi anche essa con velocità costante in
modulo , dirigendosi istante per istante nella direzione del coniglio.
Dimostrare che indipendentemente dalla traiettoria scelta dal coniglio esso verrà
raggiunto in un tempo finito se >

[lance00]

La volpe parte dall'origine di un piano cartesiano, la distanza iniziale volpe-coniglio è . Dopo un intervallo di tempo vale che è massima per . Ma in questo caso è evidente che la volpe raggiunge il coniglio (si muovono su una retta)

[.Ruben.]

Non capisco perché hai semplicemente ; mica è un prodotto scalare tra vettori paralleli?
E poi così avresti dimostrato che la migliore strategia locale per non farsi prendere dal coniglio li fa incontrare in un tempo finito. Ma nessuno ha detto che il coniglio è intelligente; non puoi sapere se esiste o no una strategia "peggiore" che richiede un tempo infinito. In sintesi, devi dimostrare che qualunque percorso facciano devono incontrarsi in un tempo finito.
Rilancio: tempo massimo prima dell'incintro?

[nicarepo]

Se ho capito bene quello che ha scritto Lance, credo che vada bene... Comunque scrivo quello che ho pensato. Non so come si inseriscono le immagini quindi descrivo a parole: si immagini di prendere un sistema di assi cartesiani in cui la volpe occupa il centro, e si immagini di posizionare il coniglio sull'ascissa positiva a distanza dalla volpe.

Dopo un tempo sufficientemente piccolo, i cammini dei due animali si possono immaginare rettilinei. La volpe si è mossa lungo (dato che il coniglio si trovava su ) mentre il coniglio si è mosso in una direzione qualsiasi con angolo rispetto alle ascisse.

Si indichi con la nuova distanza tra la volpe e il coniglio. Per disuguaglianza triangolare si può scrivere:

dove è la distanza infinitesima percorsa dal coniglio e dalla volpe. Dato che (perché le velocità sono diverse) allora la disuguaglianza si può maggiorare scrivendo .

L'uguaglianza in si ha solo se il coniglio si muove lungo (quindi ). In tal caso il tempo necessario affinché la volpe prenda il coniglio è: da cui si deduce che maggiore è la velocità della volpe, prima il coniglio verrà catturato.

[.Ruben.]

Okay ora ho capito anch'io

[lance00]

effettivamente non mi sono spiegato benissimo..

[lance00]

ma generalizzare in 3d?

[nicarepo]

Forse è uguale perché si può far sempre passare un piano per le tre posizioni degli animali (la posizione iniziale e finale del lupo e quella iniziale del coniglio sono sulla stessa retta), quindi si riconduce al caso 2D.

[Gamow00]

Effettivamente bastava una disguaglianza triangolare senza fare conti... Bravo nicarepo

In 3d è sicuramente la stessa cosa, perché i vettori velocità dei due corpi in un dato istante sono contenuti in uno stesso piano (perché la volpe punta sempre al coniglio)

[nicarepo]

Grazie , comunque ho un esercizio interessante da proporre se a Lance non dispiace...
@Ruben questo problema dovrebbe essere il 163, puoi cambiarlo?