148. Tempi di collisione

[.Ruben.]

Devo calcolare l'integrale: .
Sostituisco e ottengo: .
Sostituisco ancora e ottengo: .
Per valutare quest'ultimo integrale, ricordo che (com'è notissimo in fisica): , ossia (per le varie simmetrie della funzione coseno quadro): , che implica:

[sg_gamma]

Buona! In alternativa si poteva risolvere direttamente l'equazione del moto dove è la massa ridotta (alla fine non è tanto diverso da quello che hai fatto tu) oppure fare delle considerazioni e applicare la terza legge di Keplero
comunque tutti snobbano il punto 3...

Riesumo il topic per chiedere: c'era per caso un modo di risolvere quell'equazione differenziale diverso da quello di .Ruben.? Dopo averla provata a risolvere direttamente senza successo ho chiesto a Internet, ma nemmeno Wolfram Alpha è stato capace di darmi una risposta. Per la legge di Keplero, poi, dimmi se si doveva usare in questo modo.
In pratica considero il moto unidimensionale di una particella rispetto all'altra come un ellisse degenere del quale voglio trovare il "semiasse maggiore": in un primo tempo si ha già infatti . Nel sistema di riferimento di una delle due particelle, l'altra percorre una distanza per completare l'orbita che ci interessa, per cui il semiasse maggiore viene in questo caso percorso 4 volte e corrisponde a che, sostituito, restituisce .

[lance00]

Forse sono io che ho capito male ma la formula del periodo che usi vale solo per masse << della massa intorno a cui ruotano ... comunque puoi trovare entrambi i procedimenti (keplero, risoluzione eq differenziale) sulle mitiche dispense di Zoratti (pag 459)

[sg_gamma]

A quanto pare in effetti è così (https://physics.stackexchange.com/quest ... dependance), per cui prendendo in considerazione questa versione della legge un ragionamento di quel tipo dovrebbe avere come esito finale non (da cui ), ma (da cui ).

[lance00]

ma a non vale d/2 ?

[sg_gamma]

Controllate le soluzioni: l'idea che avevo proposto è fondamentalmente quella, ma servono appunto questi aggiustamenti:
1. Quello che si ha nella collisione è solo metà del periodo;
2. La legge di Keplero generale prevede non una singola massa, ma la somma delle 2;
3. di conseguenza
In effetti sì, hai ragione; ma nel mio primo approccio, usando una singola massa e non due non riuscivo a capire come mai al denominatore dovesse esserci 16 e ho presupposto che dall'inizio all'urto fosse l'intero periodo e che di conseguenza .