153. Scaling

[lance00]

Problema facile ma interessante
Un elicottero è in equilibrio in aria e il suo motore fornisce una potenza . Qual è la potenza necessaria per far stare in equilibrio un elicottero identico al primo ma in scala ?

[Paperottolo]

P/k*k?

[Gamow00]

Do qualche nome alle variabili:

• è la lunghezza caratteristica dell'elicottero
• è associata alla forza che l'elicottero deve esercitare per rimanere in equilibrio dinamico, quindi
• è la velocità associabile al movimento delle eliche, quindi

Per definizione di potenza:


Quindi

Se l'elicottero viene scalato di un fattore , la potenza verrà moltiplicata per un fattore

In alternativa, posso notare che le uniche "costanti" riferibili all'elicottero sono la sua densità e la velocità angolare delle pale, in aggiunta al valore non variabile della accelerazione di gravità. Per analisi dimensionale, mi posso scrivere la potenza utilizzando queste costanti e lasciando fuori un fattore , che sarà quindi riferito alla grandezza del veivolo.

[Marcus]

Mmh avevo provato a farlo con calcoli veloci e a me il fattore usciva una roba del tipo

[lance00]

@Marcus: si è giusto, se posti il procedimento il testimone è tuo

[Gamow00]

Io direi

[Marcus]

Avrei preferito lasciarlo a chi è ancora buon materiale olimpico, ma va beh
Se permetti aspetto ancora qualche giorno per postare la soluzione, tempo di fare la terza prova e pensare ad un eventuale problema 154. Intanto gamow o altri sentitevi liberi di risolverlo e prendere voi la staffetta.

[Marcus]

Va beh dato che nessuno si è fatto avanti...

Proviamo a costruire un modello: nel loro movimento le pale dell'elicottero di massa spazzano una circonferenza di raggio con velocità . Supponiamo che le pale dell'elicottero muovano l'aria che spazzano verso il basso con la stessa velocità. Allora si ha che il volume d'aria spostato in un tempo è dunque detta la densità dell'aria si ha:



Allora dato che la forza prodotta dalle pale verso l'alto è imponendo l'equilibrio col peso si ha:



Allora dato si ottiene:



Ora si riducono le dimensioni dell'elicottero di un fattore k, si indicano le grandezze dopo la trasformazione ponendo k al pedice. Si avrà e (per la dipendenza massa-volume). Allora:

[sg_gamma]

Molto interessante l'idea di Marcus; credo si possa giungere alla medesima soluzione per mezzo di Bernoulli (per cui si giunge alla fine a ) o con un'equazione che ho trovato secondo cui la forza di sollevamento di un elicottero vale : in entrambi i casi indica la densità dell'aria, la velocità dell'elicottero rispetto al sistema di riferimento dell'aria (che si suppone anche qui muoversi verso il basso), indica l'area spazzata dalle pale; pare essere un coefficiente che dipende dall'angolo tra le pale e lo spostamento dell'aria. La formula finale differisce per un fattore 2 sotto radice, ma per le richieste del problema è abbastanza ininfluente.

[lance00]

@Marcus posta pure il 154