EuPhO 2018 Problema 1

[Pigkappa]

Si sono appena svolte le olimpiadi europee della fisica 2018 in Russia. I problemi sono molto belli, perche' sono molto difficili concettualmente ma non in termini di conti o conoscenze avanzate, per cui li posto qua. Temo che non avro' tempo di seguire la discussione, ma rispondendovi a vicenda e, quando ci avrete provato seriamente, cercando le soluzioni online, potrete comunque imparare molto. Questo e' il problema 1.

Tre piccole sfere identiche A, B e C di massa sono connesse da due aste rigide senza massa di lunghezza . La sfera A e' connessa alla B, e la sfera B e' connessa alla C. L'angolo tra le due aste e' libero di cambiare. Le sfere si trovano in un ambiente privo di gravita' e attrito. Inizialmente il sistema e' fermo, e le sfere si trovano su una linea retta. All'istante t = 0, la sfera A viene colpita da un oggetto esterno e inizia a muoversi perpendicolarmente alle aste.

Trova la minima distanza tra le sfere A e C durante il moto del sistema.

[Pollo3]

in realta non dovrei nemmeno applicarmi a capire la traccia e a lasciare questo problema a chi lo sa fare , ma sono un curioso , dunque per " ambiente privo di gravità " si intende una regione di spazio in cui non è presente alcun campo gravitazionale esterno o una regione di spazio ipotetica che ha come costante di gravitazione universale 0 e dove quindi le sferette non generano loro stesse forze ? ( immagino sia la seconda ipotesi dato che se cosi non fosse una volta che le sferette non si trovano piu sulla stessa retta ,la forza gravitazionale atrattiva tra a e c le farebbe inevitabilmente collidere( almeno credo ) e quindi la distanza minima è 0 ) anche se pure la seconda ipotesi è strana , cioe si chiede allo studente di considerare non una situazione ideale , ma una regione di spazio dove le leggi fisiche stesse non valgono ...

[Pigkappa]

Non ci avevo pensato io né chi ha scritto il problema, ma in effetti bisogna specificare di trascurare l'interazione gravitazionale tra le sfere.

[carlaaf]

A me verrebbe , ma potrei aver sbagliato qualche conto, è giusto?

[Pigkappa]

È giusto, potresti lasciare un hint per gli altri o postare la soluzione

[carlaaf]

Bene! Lascio un hint e in caso posto la soluzione tra qualche giorno.

Hint: dopo aver fatto dovute considerazioni geometriche si può provare a scrivere una stessa quantità in due modi differenti, sfruttando conservazioni e considerazioni geometriche, tali che uno di essi dipenda da AC

[Marcus]

Finalmente nella foga dell'esame ho trovato un po' di tempo per fare questo bel problema... Provo a scrivere una soluzione al volo.

Si nota che detta la velocità diretta lungo l'asse delle della pallina A all'istante iniziale, si ha che il CdM del sistema si muove a velocità . Passiamo ora al sistema del centro di massa, dette , e le velocità rispettiamente di A, B e C abbiamo che , . Il sistema è inerziale dunque l'energia e il momento angolare si conservano, in particolare dalle condizioni iniziali si ottiene e .

Si nota ora che le tre palline sono sempre i vertici di un triangolo isoscele. Dunque sarà minimo quando sarà minimo anche langolo al vertice di tale triangolo. Questo accade quando la sua derivata rispetto al tempo è zero. Tuttavia all'istante in cui tale angolo non varia è possibile considerare il sistema come un corpo rigido in rotazione, il cui momento d'inerzia sarà mentre . Sostituendo si ha:



Calcoliamo ora alla maniera 'classica'. Siano , e le distanze dei tre vertici dal baricentro del triangolo, che in questo caso coincide con il CdM, legati dalle relazioni geometriche e . Il momento di inerzia è e sosituendo le relazioni di sopra si ha:



Uguagliando le espressioni (1) e (2) del momento d'inerzia si ottiene infine

Spero di non aver sbagliato a trascrivere nulla