148. Tempi di collisione

lance00 · Messaggio da **lance00** » 27 apr 2018, 17:25

quasi giusto (dovrebbe esserci un 16 al denominatore)

.Ruben. · Messaggio da **.Ruben.** » 27 apr 2018, 19:36

Ma nel secondo caso non si attrarrebbero sia per gravitá che per via della forza di coulomb?

lance00 · Messaggio da **lance00** » 27 apr 2018, 19:44

lance00 · Messaggio da **lance00** » 27 apr 2018, 19:45

Hai ragione Ruben, il punto b di Gamow non torna

.Ruben. · Messaggio da **.Ruben.** » 27 apr 2018, 20:07

Ci sono due particelle di massa $\mu$ che si attraggono con una forza pari a $F=\alpha \mu \frac{1}{r^2}$ , dove r è la reciproca distanza e $\alpha$ è un'opportuna costante che dipende dal tipo di forza.
Mi pongo nel frame unidimensionale centrato nel c.m. del sistema delle due particelle. All'istante iniziale la loro distanza è d (una è in $d/2$ ed una in $-d/2$ ) e la loro velocità è 0 m/s.
L'energia potenziale di F, integrando, vale $U= - \alpha \mu \frac{1}{r}$ .
Dunque nell'istante iniziale l'energia totale vale $E= - \alpha \mu \frac{1}{d}$ ; scrivendo l'equazione di conservazione dell'energia per un qualsiasi istante si ha: $2 ( \frac{1}{2} \mu (\frac{dx}{dt})^2) - \alpha \mu \frac{1}{2x} = - \alpha \mu \frac{1}{d}$ , (1)
dove x(t) è la posizione di una delle due particelle al tempo t. Esse si incontrano ovviamente quando x=0.
Maneggiando la (1) si ha: $\frac{dx}{dt}= - \sqrt{\alpha} \sqrt{ \frac{1}{2x} - \frac{1}{d} }$ , da cui: $dt = - \frac{1}{\sqrt{\alpha} } \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2x} - \frac{1}{d} }}$ . Integrando sul tempo da 0 a T e su x da d/2 a 0 si ottiene: $T = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \frac{\pi}{4} d^{3/2}$ .
Nel primo caso $F = \frac{G m^2}{r^2} \Rightarrow \alpha_1 = Gm \Rightarrow T_1 = \frac{1}{\sqrt{Gm}} \frac{\pi}{4} d^{3/2}$ .
Nel secondo caso $F = \frac{G M^2}{r^2} + \frac{k q^2}{r^2} \Rightarrow \alpha_2 = \frac{kq^2}{M} + GM \Rightarrow T_2 = \frac{1}{\sqrt{\frac{kq^2}{M} + GM } } \frac{\pi}{4} d^{3/2}$

lance00 · Messaggio da **lance00** » 27 apr 2018, 20:23

Buona! In alternativa si poteva risolvere direttamente l'equazione del moto $\mu \ddot{r} = \frac{\alpha}{r^2}$ dove $\mu$ è la massa ridotta (alla fine non è tanto diverso da quello che hai fatto tu) oppure fare delle considerazioni e applicare la terza legge di Keplero
comunque tutti snobbano il punto 3...

.Ruben. · Messaggio da **.Ruben.** » 28 apr 2018, 8:22

$T_2=T_1$ da cui (applicando le formule già trovate) $\frac{k q^2}{m} + GM = Gm$ , ossia: $GM^2 - GmM + kq^2=0$ che ha soluzioni:
$M(m, q) = \frac{GM \pm \sqrt{G^2 m^2 - 4kGq^2 }}{2G}$ .

.Ruben. · Messaggio da **.Ruben.** » 28 apr 2018, 8:22

$T_2=T_1$ da cui (applicando le formule già trovate) $\frac{k q^2}{M} + GM = Gm$ , ossia: $GM^2 - GmM + kq^2=0$ che ha soluzioni:
$M(m, q) = \frac{GM \pm \sqrt{G^2 m^2 - 4kGq^2 }}{2G}$ .

lance00 · Messaggio da **lance00** » 28 apr 2018, 9:08

a parte un piccolo typo va bene! A te il testimone

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 28 apr 2018, 9:56

.Ruben. ha scritto: ↑
27 apr 2018, 20:07
... da cui: $dt = \frac{1}{\sqrt{\alpha} } \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2x} - \frac{1}{d} }}$ . Integrando sul tempo da 0 a T e su x da d/2 a 0 si ottiene: $T = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \frac{\pi}{4} d^{3/2}$

Come hai svolto questo integrale?

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