Energia cinetica relativistica

Sirio_official · Messaggio da **Sirio_official** » 24 apr 2018, 18:18

Salve a tutti,
Dunque, il fatto è questo: so che l'energia cinetica relativistica è $(\gamma-1)m_0c^2$ (dove con $m_0$ indico la massa a riposo) e so anche da dove salta fuori quella formula. Però ho provato a farla saltar fuori in tutt'altro modo ottenendo cose strane.
Dunque, analogamente al caso classico imposto:
$K=\int m \vec a d\vec x$
Poi però scrivo:
$K=\int \gamma m_0 \frac {d\vec v}{dt}d\vec x=m_0\int \left(1-\frac{\vec v^2}{c^2}\right)^{-\frac 1 2}\vec vd\vec v=-\frac{c^2}2 m_0\int \left(-\frac 2{c^2} \vec v\left(1-\frac{\vec v^2}{c^2}\right)^{-\frac 1 2}\right)d\vec v$
$K=-\frac{c^2} 2 m_0 \cdot 2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=-\frac 1 \gamma m_0 c^2$
Insomma, ho un $-\frac 1 \gamma$ dove mi aspettavo un $\gamma-1$ . Ora, l'errore dove sta? Ho banalmente sbagliato i conti, dovevo dividere per $d\tau$ anziché per $dt$ o proprio non posso impostare un integrale in questo modo?
Grazie per la pazienza

Messaggio da **OrsoBruno96** » 26 apr 2018, 15:57

Ciao,

I passaggi algebrici che hai fatto sono corretti, non è un problema di conto. Il problema è che hai impostato male il tutto. Tu, in analogia a quello che si fa classicamente provi a dire che

$\Delta K = \int_{t_0}^{t_1} \vec F \cdot \mathrm{d} \vec x$

E questo è corretto. Il punto è che in relatività devi tenere conto che $\vec F \neq m\vec a$ . Se ben ricordi, la vera legge di Newton è $\vec F = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t}$ , anche in meccanica classica. Il punto è che in quel caso se la massa è costante le due equazioni sono equivalenti, ma in relatività si ha $\vec p = \gamma m \vec v$ .

Cerco di interpretare i passaggi che hai fatto, dimmi se ho capito quello che intendi. Innanzitutto hai indicato $m$ e $m_0$ come oggetti diversi. Immagino inoltre che tu immagini che la massa di un corpo che si muove valga $m = \gamma m_0$ , ho inteso bene?

Se era quello che intendevi, devo purtoppo dirti che questa è una affermazione falsa che in effetti è facile pensare per colpa di alcuni libri old-style che amano definire la massa relativistica come $\gamma m$ , ma senza spendere troppo tempo a dire che cosa vuol dire questa affermazione.

Ti mostro ora come far tornare il conto che volevi fare e ti consiglio un posto dove studiare le basi di relatività:
https://stagefisica.uz.sns.it/lezioni/l ... df/2018/I/
Qui secondo me puoi trovare del materiale utile per affrontare l'argomento, disponibile aggratis

Per quanto riguarda il tuo conto, il modo di affrontarlo è il seguente
$\Delta K = \int_{t_0}^{t_1} \vec F \cdot \mathrm{d} \vec x = \int_{t_0}^{t_1} \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d} \vec x = \int_{t_0}^{t_1} \frac{\mathrm{d} \vec x}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d} \vec p = \int_{t_0}^{t_1} \vec v \cdot \mathrm{d}\vec p =$
$=\int_{t_0}^{t_1} \mathrm{d}(\vec v \cdot \vec p) - \vec p \cdot \mathrm{d}\vec v = (\vec v \cdot \vec p)|_{t_{0}}^{t_1} -m\int_{t_0}^{t_1} \gamma \vec v \cdot \mathrm{d} \vec v =$
$=(\vec v \cdot \vec p)|_{t_{0}}^{t_1} -\frac{mc^2}{2}\int_{t_0}^{t_1} \gamma \mathrm{d} |\vec v|^2/c^2 = (\vec v \cdot \vec p)|_{t_{0}}^{t_1} -\frac{mc^2}{2}\int_{t_0}^{t_1} (1-x)^{-1/2} \mathrm{d}x =$
$= \left[\vec v \cdot \vec p + \frac{mc^2}{\gamma} \right]_{t_0}^{t_1} = mc^2\left[ \gamma \frac{|\vec v|^2}{c^2} + \frac{1}{\gamma} \right]_{t_0}^{t_1} = mc^2\left[ \gamma \right]_{t_0}^{t_1}$

Se l'oggetto all'istante iniziale era fermo, ovviamente l'ultima espressione diventa quello che volevi, ovvero $(\gamma -1)mc^2$

Dimmi se non sono stato chiaro, ho fatto un po' di giochini fastidiosi con gli integrali perché non avevo voglia di calcolare una derivata, se ti sei perso qualcosa nei passaggi chiedi pure

Sirio_official · Messaggio da **Sirio_official** » 26 apr 2018, 19:22

Grazie mille!

Per quanto riguarda la questione tra $m$ e $m_0$ , avevo già sentito quello che hai scritto (appunto allo stage di Pisa), ma poi tornato a scuola mi hanno rapidamente fatto il lavaggio del cervello su questo punto

Detto ciò, i passaggi algebrici sono chiarissimi. Grazie mille ancora!

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