PUNTO 2
Sia
la posizione della formica sulla retta su cui si muove, con l'origine nel punto dove è il palo e punto iniziale sul semiasse positivo. Avremo
=x)
e la velocità sarà
=-\frac{X}{t})
dove il segno meno è dovuto al fatto che si muove verso l'origine. Per la regola di derivazione delle funzioni composte si ha
in quanto la derivata di
rispetto al tempo è proprio la velocità della formica. Risolviamo quest'equazione separando le variabili e integrando, e si ha
che, elevando in base e, e ponendo la condizione iniziale
=-x/t)
ci dà
=-\frac{x}{t}e^{-\frac{T}{t}})
in quanto la velocità è negativa. Separando le variabili X e T ed integrando nuovamente otteniamo
=\int -\frac{x}{t}e^{-\frac{T}{t}}dT=x\cdot e^{-\frac{T}{t}}+c_2)
che ponendo la condizione iniziale
ci dà la legge oraria
=x\cdot e^{-\frac{T}{t}})
PUNTO 1
Ponendo nell'equazione oraria
=\dfrac{x}{2})
si ottiene facilmente
)
PUNTO 3
Essendo la sommatoria dei momenti delle forze esterne rispetto al centro del disco nulla, il momento angolare totale del sistema si conserva. In particolare si conserva tra l'inizio e un qualunque istante T nel quale la formica si trova a distanza r(T) dal palo (ed il disco gira ad una velocità angolare w(T)):
+mr(T)\cdot v(T)=Iw(T)+mr(T)^2w(T))
Sapendo che w è la derivata dell'angolo percorso rispetto al tempo e l'equazione oraria della formica sul raggio, si ottiene
=\frac{d\theta}{dT}\left( I+mr(T)^2 \right)=\frac{d\theta}{dT}\left( I+m\left( R^2\cdot e^{-\frac{2}{t}\cdot T} \right) \right))
Separando le variabili e integrando (se volete riporto i calcoli), si ottiene ( portando opportune costanti fuori e utilizzando l'hint con
e ponendo la condizione iniziale che
=0)
) il risultato che ho scritto prima.
PS perdonate eventuali typo ed il fatto che non ho riporato i calcoli dell'ultimo integrale.
