129. Goccia d'acqua

lance00 · Messaggio da **lance00** » 9 gen 2018, 19:43

Assumere che una nuvola consista di piccole goccioline d'acqua in sospensione (ferme e distribuite uniformemente) e si consideri una goccia d'acqua che precipita attraverso la nuvola. Qual è l'accelerazione della goccia? (Assumere che la goccia resti sempre sferica e che quando la goccia urta una gocciolina la massa della gocciolina venga aggiunta a quella della goccia)

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 10 gen 2018, 12:40

${g / 7}$ ?

Mi sembra strano come risultato però per ora mi viene così

lance00 · Messaggio da **lance00** » 10 gen 2018, 14:53

Invece è giusto

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 10 gen 2018, 22:04

non l'avrei mai detto

Se la goccia ha raggio $r$ e volume $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ , durante un tempo $dt$ "spazza" un volume $dV_{sp}=\pi r^2v dt$ , dove $v$ è la velocità della goccia. $dV$ (variazione di volume della goccia) non sarà uguale a $dV_{sp}$ (perchè lo spazio in cui si muove la goccia non è 100% acqua) ma certamente è proporzionale quindi posso scrivere:
$dV=dV_{sp} \times cost=\pi r^2v dt\times cost= \pi \Big({\sqrt[3]{\frac{3}{4}\pi V}}\Big)^2v dt\times cost= V^{2/3}vdt\times cost=V^{2/3}\frac{ds}{dt}dt\times cost=V^{2/3}ds\times cost$ .

" $cost$ " è una certa costante a cui continuo ad "aggiornare" il valore per semplicità di scrittura.

Quindi $dV=V^{2/3}ds\times cost$

$\frac{dV}{V^{2/3}}=ds \times cost$

$\int \frac{dV}{V^{2/3}}=\int ds \times cost$

$\frac{1}{3}V^{1/3}=s\times cost+C$

$V^{1/3}=s\times cost+C$

La costante additiva $C$ vale $0$ perchè il volume della goccia è nullo (o quasi

) nell'istante iniziale.

$V=s^3 \times cost$

Essendo la massa della goccia proporzionale al volume: $m=s^3 \times cost$

Ora: la legge della dinamica $F=ma$ non posso usarla perchè la massa è variabile, quindi devo usare $F=\frac {dp}{dt}$
$F=\frac {dm \times v +mdv}{dt}$
$mg=\frac {dm \times v }{dt}+ma$
Per i risultati precedenti: $m=s^3 \times cost$ quindi $dm=3s^2 ds\times cost$
$mg=3s^2{ds \over dt}v\times cost+s^3a\times cost$
$s^3g\times cost=3s^2v^2\times cost+s^3a\times cost$

$sg=3v^2+sa$

Ora suppongo che $a$ (accelerazione) sia costante. Allora $v=at$ e $s=1/2at^2$ .Sostituisco:
$1/2at^2g=3a^2t^2+1/2a^2t^2$
$1/2g=3a+1/2a$
La nostra supposizione iniziale ( $a=cost$ ) si è rivelata corretta perchè la nostra equazione è valida per ogni $t$ .
$g=6a+a$

$a={g \over 7}$

stranissimo come risultato

carol · Messaggio da **carol** » 11 gen 2018, 12:43

@ Gamow
Mi sembra un procedimento molto ingegnoso (e corretto dice la soluzione ufficiale): però meraviglia te stesso e quindi sarai d'accordo sui dubbi che possono venire agli altri e che è bene esplicitare per imparare

Io ne avrei tre intanto. 1) Non capisco perchè mg è uguale alle forze del secondo membro che giustamente contempla la massa variabile. Se ciò accade non è che siamo all'equilibrio?

2) Poni 0 la cost sul presupposto che la goccia si formi attraversando; ma il testo mi pare dica un'altra cosa e cioè che attraversando incrementi volume e massa. 3) Tu supponi in conclusione un dato decisivo per la soluzione e cioè "a costante" ma dall'uguaglianza che usi mi sembra arbitrario perchè non lo sono nè s nè v che vi compaiono e quindi più che una supposizioe mi sembra un'imposizione!

lance00 · Messaggio da **lance00** » 11 gen 2018, 15:07

Buona Gamow00! a te il testimone

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 11 gen 2018, 16:24

@lance00
Domani ci penso

@carol
1) $mg$ non eguglia tutte le forze .Semplicemente $mg$ è uguale alla sommatoria di tutte le forze esterne dato che non ci sono altre forze oltre alla gravità. Di conseguenza ho $F=mg$ ; se la massa fosse costante: $mg=ma$ quindi $a=g$ . In questo caso: $mg={dp \over dt}$ .

2) Certo, massa e volume aumentano man mano. Ma sarai d'accordo che ci deve essere stato un momento in cui $V=V_0 \approx 0$ . Secondo le nostre approssimazioni infatti, non agiscono forze "strane" ( attrazioni molecolari) tra le goccie, quindi una goccia inizia a cadere quando il suo volume è appena sopra 0.
Potrebbe sembrare un risultato forzato ma è il meglio che si può ottenere con queste approssimazioni.

3) Pensa a come viene risolto il 50% delle equazioni differenziali. Si sostituisce $e^{\lambda t}$ alla variabile dipendente e si spera venga qualcosa con un senso. Se si trovano delle assurdità bisogna tornare indietro e provare un'altra sostituzione, oppure usare metodi più diretti.
In questo caso ho provato $a=cost$ e ho avuto fortuna.
Puoi contestare il metodo,certamente, ma non il risultato. Prova a sostituire $a=c$ , $v=ct$ e $s={1 \over 2}at^2$ e vedrai che la soluzione è corretta.

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