Piccole oscillazioni di un satellite

lance00 · Messaggio da **lance00** » 6 gen 2018, 17:33

Si abbia un satellite artificiale costituito da due sferette uguali di massa $m$ legate rigidamente da una sbarra di lunghezza $2L$ e di massa trascurabile. Si vuole studiare il moto del satellite attorno al suo centro di massa $G$ mentre questo orbita attorno alla terra su di una traiettoria circolare di raggio $r$ . La sbarra forma un angolo $\theta <= \pi/2$ con la linea che congiunge G col centro della Terra.
(a) Per quali valori di $\theta$ il satellite è in equilibro rotazionale?
b) Tenendo conto che $L << r$ mostrare il momento delle forze agenti sul satellite è $|M_{tot}| = \frac{3GmM_{terra}L^2 sin(2\theta)}{r^3}$
(c) calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile per r = 7000 Km, L = 5m e m=4kg

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 8 gen 2018, 19:06

Risolverò prima il prima il punto b)

Ponendoci su un sistema di riferimento (non inerziale) solidale con il CDM del satellite, su ogni massa agiscono due forze: quella centrifuga e quella gravitazionale. La massa di destra orbita a una distanza $r+h$ mentre quella sinistra a $r-h$ , dove $h=L\cos{\theta}$ . Il momento totale è uguale alla somma dei quattro momenti torcenti, presi con segno. (indicherò con $\omega$ la velocità angolare)

$M_{tot}=L\sin{\theta}\times(m\omega^2(r+h)+{mMG \over (r-h)^2}-m\omega^2(r-h)-{mMG \over (r+h)^2})$

$M_{tot}=mL\sin{\theta}\times(2\omega^2h+{4hrMG \over (r^2-h^2)^2})$

Siccome $h<<r$ : $M_{tot}=mhL\sin{\theta}\times(2\omega^2+{4MG \over r^3})$

Grazie alle condizioni di orbita trovo che $\omega^2={MG \over r^3}$ . Sostituisco nell'equazione principale:

$M_{tot}=mhL\sin{\theta}\times({2MG \over r^3}+{4MG \over r^3})$
$M_{tot}={6mhL\sin{\theta}MG \over r^3}$
$M_{tot}={6mL^2\cos{\theta}\sin{\theta}MG \over r^3}$
Essendo $2\sin{\theta}\cos{\theta}=\sin{2\theta}$
$M_{tot}={3mL^2MG\sin{2\theta} \over r^3}$ che corrisponde a quella data dal testo ( a meno del $R^2_{Terra}$ che penso sia sfuggito).
L'oggetto è in equlibrio rotazionale quando $M_{tot}=0$ quindi se $\sin{2\theta}=0$ . Le soluzioni sono $\theta=0,\pi/2$

Se all'oggetto viene dato un "colpetto", però, la situazione si complica. Infatti se l'oggetto si trova nella posizione $\theta=0$ , il momento torcente non agisce in modo da avvicinare il corpo alla posizione iniziale, ma in senso contrario. La situazione è quindi di equilibrio instabile. Invece in $\theta=\pi/2$ le forze tendono ad annulare il colpetto iniziale: si tratta di equilibrio stabile.
Per calcolarne le oscillazioni: $M_{tot}=I\alpha$
${3mL^2MG\sin{2\theta} \over r^3}=-2mL^2\alpha$ Noto che $sin{2\theta} \approx 2\theta$
${3MG \over r^3}\theta=-\alpha$
E' un classico moto armonico e il suo periodo è $T=2\pi\sqrt{r^3 \over 3MG}\approx 6\times 10^{3} s$ .

lance00 · Messaggio da **lance00** » 8 gen 2018, 19:24

giusta!

In effetti avevo scritto male la formula, ora è corretta. Per quanto riguarda T, il procedimento è giusto però dovrebbe venire dell'odg di 10^3..

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 8 gen 2018, 20:22

Ho corretto
Mi ero dimenticato di fare il raggio alla terza

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