SSSUP 2008/2009 Esercizio 1

[Albertopisa]

Non ho trovato testi precisi, ma solo questa bozza... Se qualcuno avesse i testi precisi, mi farebbe molto piacere li postasse

a) dimostrare che l'energia potenziale elttrostatica di una distribuzione di conduttori ha la stessa forma di quella di un sistema di cariche puntiformi.

Siano poi 2 sfere di raggio , carica collegate da un filo di resistenza e poste a distanza infinita
b) trovare le cariche finali dopo un tempo sufficientemente lungo
c) trovare l'energia dissipata in calore nella resistenza

Si pongano le due cariche a distanza finita
e) trovare le cariche finali dopo un tempo sufficientemente lungo
f) trovare l'energia dissipata in calore nella resistenza

Si immergano poi le due cariche in un mezzo conduttore di resistivita' nota;
g) disegnare il circuito equivalente

[pascal]

a) Due cariche puntiformi posseggono l’energia potenziale dove k è la costante della legge di Coulomb.
Un insieme di cariche puntiformi ha l’energia potenziale



La somma interna è il potenziale delle cariche nel punto in cui è . Perciò



Con più conduttori è valida la stessa formula dove Vi sono i potenziali dei singoli conduttori su cui sono disposte le cariche .

b) Quando le sferette conduttrici, aventi cariche iniziali e , vengono collegate con R, raggiungeranno lo stesso potenziale

.

Quest’equazione in e e la conservazione della carica permettono di determinare e .

c) L’energia iniziale è , quella finale risulta , la differenza viene dissipata per effetto Joule.

e) Se le sferette non sono lontanissime hanno i seguenti potenziali finali e .

Cioè i potenziali su una sferetta sono prodotti da ambedue le cariche. Evidentemente la influenza la distribuzione di e viceversa. Penso che la distanza d, pur essendo finita, rimanga ancora grande rispetto a e . Altrimenti calcolare i potenziali diventerebbe molto complesso. Con quest’approssimazione le uguaglianze

e conducono al calcolo di e .

f) L’energia iniziale vale , quella finale corrisponde a , l’energia persa per effetto Joule è .

g) Le cariche si sposteranno sulla superficie esterna del conduttore; si può immaginare di schematizzare la situazione con le due sferette poste entro uno schermo metallico a cui sono connesse con una resistenza. Sostanzialmente è una messa a terra rispetto alla cavità. Le sferette e la cavità possono considerarsi come un condensatore particolare con le armature collegate con una resistenza.

[mrossi]

Scusa pascal ma non ho capito il punto g)

[pascal]

Le cariche inserite in un conduttore si trasferiscono sulla sua superficie, come discende dal teorema di Gauss, perché il campo elettrico al suo interno deve annullarsi. Infatti in assenza di correnti elettriche deve risultare zero, altrimenti gli elettroni di conduzione sottoposti ad produrrebbero delle correnti. Il flusso di , attraverso una qualsiasi superficie chiusa S entro il conduttore, deve annullarsi e ciò implica per il teorema di Gauss che pure la carica in S deve essere zero. Allora la carica elettrica di un conduttore può risiedere soltanto sulla sua superficie.

[eli9o]

Scusa pascal ma non ho capito il punto g)

[pascal]

Se forniamo la carica Q ad un conduttore che presenta una cavità, Q si distribuirà ancora sulla superficie esterna del corpo. Riapplicando il teorema di Gauss ad una superficie chiusa che circonda la cavità entro il conduttore, in cui il campo elettrico è nullo, riotteniamo che la carica sulle pareti della cavità deve essere zero. Però si avrebbe la possibilità che si formino due cariche opposte sulla superficie interna. Ma le cariche sarebbero sorgenti di un campo elettrico con linee di campo da q>0 a –q. Andando da q a –q lungo una linea di campo nello spazio cavo, si avrebbe una differenza di potenziale. Se ci si sposta tra gli stessi punti, lungo una curva entro il conduttore, la differenza di potenziale deve risultare nulla perché ivi . Ma il campo elettrostatico è conservativo, cioè il lavoro compiuto dalla forza elettrica su una carica che si sposta fra due punti è indipendente dal percorso, quindi deve essere nulla anche la differenza di potenziale entro la cavità e da ciò consegue che . In questo esempio non si possono generare cariche sulle pareti della cavità né si può avere un campo elettrico al suo interno.
Ritornando al quesito, si può dividere il conduttore in un schermo chiuso più la parte rimanente con resistenza R. Ad R vengono collegate le due sferette conduttrici cariche poste entro lo schermo. Per quanto detto la carica emigrerà sulla superficie esterna dello schermo.