104 masse che cadono

[arna1998]

Si hanno 104 sfere rispettivamente di massa , , ..., . Sono disposte in modo che tutti i centri siano allineati su una retta perpendicolare al suolo, la massa è quella più in alto, mentre è quella più in basso. La distanza tra una massa è quella sottostante è molto piccola. Le masse vengono lasciate cadere simultaneamente.Trovare il rapporto affinché in seguito a tutti gli urti:
(A) La massa riceva la percentuale di energia cinetica più grande possibile.
(B) La massa vada più in alto possibile. Inoltre determinare l'altezza che raggiunge in questo caso se inizialmente si trova ad altezza , mentre la massa inizialmente è ad altezza .
È sufficiente considerare i primi 2 urti di ogni massa, e tutti gli urti sono perfettamente elastici.

[CaptainJohnCabot]

Mi sembra molto strano ma è possibile che il punto a sia una roba tipo ?

[arna1998]

No, non è quello

[CaptainJohnCabot]

Ecco appunto

Avevo provato al volo a farlo a mente sul treno iterando il procedimento usato per due masse, direi che avevo decisamente sopravvalutato le mie abilità

Effettivamente il rapporto tra due masse consecutive non dovrebbe essere costante, dato che cambiano le varie velocità di risalita

[guido]

Io pensavo che percorressero tutte lo stesso tratto, quello di , giungendo tutte con la stessa velocità agli urti e che data la piccolezza della loro distanza praticamente è come se avvenisse l'urto direttamente fra la prima e l'ultima che è respinta dal suolo mentre le altre è come se fossero ferme e trasmettessero semplicemente la quantità di moto di su m_1. Posso lavorare a quest'idea o sono fuori

[arna1998]

È giusto dire che le masse arrivano tutte con la stessa velocità all'urto, dato che percorrono lo stesso tratto. Non è vero però che si può considerare l'urto direttamente tra la prima e l'ultima massa, dato che la distanza che c'è tra una massa e l'altra fa si che gli urti avvengano tutti in istanti diversi, seppur vicinissimi.

[step98]

La risposta al punto a potrebbe essere ?

[arna1998]

Corretta!

[step98]

Ok allora vado con il procedimento:
se si vuole trasferire all'ultima sfera la massima energia possibile bisogna imporre che in ogni urto la sfera più in basso rimanga ferma dopo l'urto, cioè deve essere:

dove è la velocità del centro di massa dell'n-esima e (n-1)-esima sfera e è la velocità dell'n-esima sfera prima dell'urto. In questo modo la velocità dopo l'urto dell'(n-1)-esima sfera sarà:
(si stanno considerando positive le velocità rivolte verso l'alto)
dove è la velocità che hanno tutte le sfere prima che inizino gli urti.
Quindi si ha, considerando che :

Poichè si è imposto che dopo ogni urto la sfera più in basso rimanesse ferma, si ha per la conservazione dell'energia:

trascurando le velocità che le altre sfere hanno assunto per via della gravità poichè gli urti sono tutti molto ravvicinati nel tempo.
Sostituendo l'espressione trovata per :

Cioè:

Scrivendo le espressioni di e si vede che:

A questo punto scrivendo anche e in funzione di si vede che:

Ponendo e si ha:

Cioè

Al momento non ho ancora provato a fare il punto b e non so se avrò tempo, quindi invito anche gli altri a provare per evitare che la staffetta si blocchi.

[Flaffo]

Partendo dal teorema (facilmente dimostrabile dalla conservazione dell'energia e della quantità di moto) secondo cui la velocità relativa tra due palle prima e dopo l'urto deve essere uguale in modulo, è facile capire che, affinché la palla più in alto esca dall'urto con velocità maggiore possibile, la massa in basso deve mantenere la sua velocità praticamente inalterata prima e dopo lo scontro. Ciò accade se . Il rapporto chiesto
In questo caso possiamo scrivere:



Per semplicità chiamiamo da ora la palla più in basso e quella più in alto. Iterando la formula precedente si ricava:



La velocità della palla più in alto è, allora:



Che ovviamente va ben oltre la velocità della luce...

A questo punto andrebbe usata la relatività.. il risultato comunque sarà molto prossimo a , per cui sarà inutile andare a cercare dal vicino la 12, 13, 14, 15.. 104 in quanto vagheranno inesorabilmente nello spazio. Un inutile spreco di palle!