La "vera" formula di caduta dei gravi

[Gamow00]

Ciao a tutti mi chiamo Luca e sono nuovo del forum.
Volevo proporre un problema che mi frulla in testa da un po' ma che non riesco a risolvere.
Tutti conoscono la legge oraria del moto uniformemente accelerato, che viene usata anche nei moti di caduta libera. Questo però è possibile solo se si suppone il campo gravitazionale uniforme. Io invece vorrei sapere la "vera" formula, ossia considerando l'accelerazione variabile in base alla forza di gravità. Quindi dato un corpo di massa M e un grave a distanza h che sta cadendo, qual è la formula che da la posizione del grave in base al tempo?
Ho provato a risolvere questo problema con gli integrali ma mi sono ingarbugliato
Mi date una mano?

[.Ruben.]

http://www.matematicamente.it/forum/vie ... 0&t=166053

Qui chiedeva di risolvere solo trovando il tempo, ma l'equazione che ti porta a quel risultato è la stessa che risolve il tuo problema(l'integrale al punto 1 è fondamentale)

Per chiarire un po' le idee:
Supponiamo che ci siano due corpi, uno con massa M e l'altro m, avendo M molto maggiore di m.
in questo caso possiamo porre il corpo grande sull'origine di un sistema di riferimento unidimensionale(coordinata h, che equivale alla distanza del corpo piccolo dal centro della terra)

Con le stesse considerazioni presenti nel post(indico con d l'altezza da cui inizia a cadere), ottengo che:

Dove M non è più la massa ridotta ma la massa della terra
Arrivo a:
Integrando(dopo svariati conti, questa parte nel post non c'è) ottengo:

Imponendo ottengo:


Si arriva così ad un equazione trascendente che lega h e t senza derivate
Purtroppo non è(almeno a parer mio) risolvibile tramite funzioni elementari, ma può essere molto utile per determinare il tempo a partire dall'altezza...

[Gamow00]

Grazie mille per la risposta
Ma quindi trovare una funzione d=f(t) data la distanza dei corpi e le masse non è possibile con funzioni elementari?