SNS 2009/2010 Problema 2

[Jacopo]

Due particelle sono vincolate a scorrere senza attrito su un anello circolare

A quanto pare sono stato l'unico a non avere capito esattamente cosa intendessero per vincolate, e ad avere risolto un altro problema... Bastava aggiungere "per l'intero giro" o qualcosa di simile e sarebbe stato molto più chiaro!
Comunque è entusiasmante riuscire a risolverlo in neanche due minuti la mattina dopo!
Vabbè, lo posto così magari mi aggiungono qualche punto, se qualche correttore frequenta il forum...

Dal momento che le particelle sono vincolate a percorrere la traiettoria circolare dell'anello, quest'ultimo fornisce una reazione vincolare N che, insieme alla componente radiale della forza peso, fornisce l'accelerazione centripeta necessaria a mantenere le particelle nel loro moto circolare intorno all'anello.
Quindi

dove è l'angolo tra la verticale e il raggio mandato sulla particella.
Ma la velocità v della particella è anch'essa vincolata dalla conservazione dell'energia all'angolo :

Da queste due belle relazioni ricaviamo

Ora notiamo che per il terzo principio di Newton (quello di azione e reazione) anche le particelle esercitano sull'anello una forza uguale in modulo e contraria in verso a N: questa forza avrà una componente verso l'alto, , che ad un certo momento supererà la forza peso dell'anello:

(il 2 indica che le particelle esercitanti questa forza sono 2).
Ricavando otteniamo un trinomio di secondo grado che ha soluzioni se il è : come per magia, rimane alla fine


Che frustrazione...
A sto punto rilancio con il bonus :
Due particelle puntiformi, ciascuna di massa , scorrono senza attrito su un anello circolare di raggio e massa posto verticalmente rispetto al terreno. Le particelle incominciano a scivolare da ferme e simultaneamente dal punto più alto dell'anello, sui lati opposti dello stesso. Determinare (se esiste) il minimo valore di m/M per cui l'anello può, ad un certo momento, muoversi verso l'alto nel campo gravitazionale terrestre.

Perdonami passavo di qui mi è venuto un dubbio probabilmente stupido, che cos'è mg(1-\cos\theta)[/tex]
l'energia potenziale calcolata come?. grazie

[Loren Kocillari89]

Ma la velocità v della particella è anch'essa vincolata dalla conservazione dell'energia all'angolo :

Io ho argomentato che per avere il minimo rapporto tra ed si deve avere la più piccola. Se è la minima infatti le due palline scivoleranno in fondo all'anello senza alzare un tubo, poi nell'estrenità più bassa riusciranno ad eguagliare il peso dell'anello e a fornirli un impulso. Quindi da ciò si deduce che , quindi alla fine l'angolo non era necessario porlo.
Questa mancanza mi costerà molto?

[Davide90]

Perdonami passavo di qui mi è venuto un dubbio probabilmente stupido, che cos'è
l'energia potenziale calcolata come?. grazie

Scusa, ho dimenticato il raggio R della ruota, deve essere .
Ho imposto che , dove i ed f si riferiscono alla posizione iniziale delle palline e a quella finale, dove il raggio congiungente con la pallina forma un angolo con la verticale.
Sostituendo, ottieni (ponendo come il centro dell'anello)

da cui ottieni

Io ho argomentato che per avere il minimo rapporto tra ed si deve avere la più piccola. Se è la minima infatti le due palline scivoleranno in fondo all'anello senza alzare un tubo, poi nell'estrenità più bassa riusciranno ad eguagliare il peso dell'anello e a fornirli un impulso. Quindi da ciò si deduce che , quindi alla fine l'angolo non era necessario porlo.
Questa mancanza mi costerà molto?

Non ho capito che ragionamento hai fatto... quando le palline sono nel punto più basso la reazione vincolare N dell'anello sulle palline è verso il centro, e vale , dunque la reazione della pallina sull'anello risulta verso il basso, e anzi spinge l'anello verso il terreno.

[Jacopo]

Perdonami passavo di qui mi è venuto un dubbio probabilmente stupido, che cos'è
l'energia potenziale calcolata come?. grazie

Scusa, ho dimenticato il raggio R della ruota, deve essere .

ecco cosa mi mancava.. grazie mille, mettere U=0 nel punto piu basso dell'anello (il terreno) era sbagliato?

[Davide90]

No, è identico, semplicemente aggiungi membro a membro un : da un punto di vista matematico ovviamente non cambia nulla; da un punto di vista fisico, non si può mai parlare di un potenziale gravitazionale assoluto, ma si parla sempre e solo di differenze di energia potenziale ()

[Jacopo]

No, è identico, semplicemente aggiungi membro a membro un : da un punto di vista matematico ovviamente non cambia nulla; da un punto di vista fisico, non si può mai parlare di un potenziale gravitazionale assoluto, ma si parla sempre e solo di differenze di energia potenziale ()

si certo giustissimo

[Loren Kocillari89]

Io ho argomentato che per avere il minimo rapporto tra ed si deve avere la più piccola. Se è la minima infatti le due palline scivoleranno in fondo all'anello senza alzare un tubo, poi nell'estrenità più bassa riusciranno ad eguagliare il peso dell'anello e a fornirli un impulso. Quindi da ciò si deduce che , quindi alla fine l'angolo non era necessario porlo.
Questa mancanza mi costerà molto?

Non ho capito che ragionamento hai fatto... quando le palline sono nel punto più basso la reazione vincolare N dell'anello sulle palline è verso il centro, e vale , dunque la reazione della pallina sull'anello risulta verso il basso, e anzi spinge l'anello verso il terreno.

Allora, dato che le due palline sono vincolate al centro, nel punto + basso dell'anello ci sarà una forza centrifuga e quella peso che cercheranno di spingere le palline via dall'anello, ma dato che sono vincolate ciò non succederà. Per la 3 legge di Newton, le due palline imprimono una forza uguale ed opposta all'anello stesso, che è sì diretto verso il centro, ma essendo nell'estremo basso, sono dirette verso l'alto. A questo punto l'anello salta. Io l'ho calcolato nel punto +basso xkè è lì che il peso delle palline è massimo, mentre la forza centrifuga è sempre la stessa, ed è proprio qui che la forza normale che spinge l'anello è massima. Quindi posso imporre la massa della pallina con il valore minimo

[MrTeo]

Io l'ho calcolato nel punto +basso xkè è lì che il peso delle palline è massimo, mentre la forza centrifuga è sempre la stessa

C'è qualcosa che mi sfugge in questa affermazione... come fa il peso ad essere massimo e la forza centrifuga sempre uguale?

[Rigel]

Allora, dato che le due palline sono vincolate al centro, nel punto + basso dell'anello ci sarà una forza centrifuga e quella peso che cercheranno di spingere le palline via dall'anello, ma dato che sono vincolate ciò non succederà. Per la 3 legge di Newton, le due palline imprimono una forza uguale ed opposta all'anello stesso, che è sì diretto verso il centro, ma essendo nell'estremo basso, sono dirette verso l'alto. A questo punto l'anello salta. Io l'ho calcolato nel punto +basso xkè è lì che il peso delle palline è massimo, mentre la forza centrifuga è sempre la stessa, ed è proprio qui che la forza normale che spinge l'anello è massima. Quindi posso imporre la massa della pallina con il valore minimo

Forza peso e centrifuga sono dirette verso il basso, nel punto più basso, quindi la reazione va verso l'alto e quindi l'anello è spinto verso il basso. Inoltre la forza centrifuga cambia a seconda della velocità che aumenta man mano che queste scendono verso il basso

[Loren Kocillari89]

Allora, dato che le due palline sono vincolate al centro, nel punto + basso dell'anello ci sarà una forza centrifuga e quella peso che cercheranno di spingere le palline via dall'anello, ma dato che sono vincolate ciò non succederà. Per la 3 legge di Newton, le due palline imprimono una forza uguale ed opposta all'anello stesso, che è sì diretto verso il centro, ma essendo nell'estremo basso, sono dirette verso l'alto. A questo punto l'anello salta. Io l'ho calcolato nel punto +basso xkè è lì che il peso delle palline è massimo, mentre la forza centrifuga è sempre la stessa, ed è proprio qui che la forza normale che spinge l'anello è massima. Quindi posso imporre la massa della pallina con il valore minimo

Forza peso e centrifuga sono dirette verso il basso, nel punto più basso, quindi la reazione va verso l'alto e quindi l'anello è spinto verso il basso. Inoltre la forza centrifuga cambia a seconda della velocità che aumenta man mano che queste scendono verso il basso

porca puttana è vero.. è andata alla grande:mrgreen:sono in pensiero per la salute di quel fisico che leggerà queste affermazioni..