Scatole cubiche che rotolano/slittano

[DEhunt]

Una cassa cubica con lato di 1,2m contiene un pezzo di macchina di forma tale che il centro di gravità della cassa con il suo contenuto è 30cm sopra il centro geometrico
La cassa è ferma su uno scivolo inclinato di un angolo rispetto al piano orizzontale
Aumentando partendo da zero si arriverà a un valore superato il quale la cassa comincerà a scivolare giù per lo scivolo oppure si rovescerà.

Quale dei due casi si verificherà se il coefficiente di attrito statico è 0,6? E a che angolo? E se è 0,7? E a che angolo?

PS: non c'è un modo per mettere uno spoiler nel post?

[Flaffo]

Per la condizione di non scivolamento abbiamo:


Per la condizione di non ribaltamento:


Eguagliando, troviamo che il valore di per cui lo scivolamento e il ribaltamento avvengono insieme è:

Se ; cioè minore del valore trovato, avviene prima lo scivolamento.
Se ; cioè maggiore del valore trovato, avviene prima il ribaltamento.

[arna1998]

PS: non c'è un modo per mettere uno spoiler nel post?

Purtroppo sul forum non ci sono gli spoiler
Se vuoi fare qualcosa di analogo puoi mettere il testo di un colore simile allo sfondo, così è leggibile solo evidenziato col cursore, tipo così

SPOILER
messaggio segreto!


che si ottiene scrivendo

Codice: Seleziona tutto

SPOILER
[color=#EDF5EE]messaggio segreto![/color]

[DEhunt]

Per la condizione di non scivolamento abbiamo:


Per la condizione di non ribaltamento:


Eguagliando, troviamo che il valore di per cui lo scivolamento e il ribaltamento avvengono insieme è:

Se ; cioè minore del valore trovato, avviene prima lo scivolamento.
Se ; cioè maggiore del valore trovato, avviene prima il ribaltamento.

Corretto! Chiedo dei chiarimenti sulla condizione di non ribaltamento (a cui tutti mi auguro possano rispondere) visto che la tua non mi è chiaro da dove salti fuori, sebbene sia equivalente a quella che ho trovato io
La condizione di non ribaltamento la ho "tirata fuori" dal fatto che se la verticale dal baricentro sta nel piano d'appoggio allora la cassa non si ribalta. Questo fatto però, a me noto, con mia grande sorpresa non è presente nel capitolo 12 dell'Halliday, sicchè mi sono sentito in dovere di giustificarlo.

Prendendo come asse di rotazione rispetto al quale calcolare i momenti lo spigolo che fa da perno la forza d'attrito ha braccio zero vero?
Conseguentemente alle premesse poste nella soluzione da Flaffo, per angoli sufficientemente alti, avvengono sia rotolamento che slittamento in contemporanea?

Ringrazio in anticipo per la disponibilità chiunque abbia voglia di rispondermi, lo spoiler ormai mi non serve più

[Flaffo]

Si, per calcolare l'angolo limite per il ribaltamento ho usato il fatto che la retta verticale passante per lo spigolo, in questo caso, deve anche passare per il centro di massa. In questa situazione il corpo è in equilibrio poiché la somma delle forze è nulla ( forza peso bilanciata da quella normale) e anche la somma dei momenti è nulla (sia la forza di attrito che la forza peso hanno braccio nullo). Inoltre questo equilibrio è instabile: se, rispetto alla verticale, passante per lo spigolo, il cubo si discosta di un piccolo angolo, il braccio della forza peso non è più nullo ed esiste quindi un momento che fa ruotare il cubo, ribaltandolo.

Per angoli maggiori di:



Avviene sicuramente il ribaltamento. Non è detto, però, che avvenga anche lo slittamento: tutto dipende dal valore del coefficiente di attrito che determina l'angolo limite per lo slittamento.

[DEhunt]

Si, per calcolare l'angolo limite per il ribaltamento ho usato il fatto che la retta verticale passante per lo spigolo, in questo caso, deve anche passare per il centro di massa. In questa situazione il corpo è in equilibrio poiché la somma delle forze è nulla ( forza peso bilanciata da quella normale) e anche la somma dei momenti è nulla (sia la forza di attrito che la forza peso hanno braccio nullo). Inoltre questo equilibrio è instabile: se, rispetto alla verticale, passante per lo spigolo, il cubo si discosta di un piccolo angolo, il braccio della forza peso non è più nullo ed esiste quindi un momento che fa ruotare il cubo, ribaltandolo.

Per angoli maggiori di:



Avviene sicuramente il ribaltamento. Non è detto, però, che avvenga anche lo slittamento: tutto dipende dal valore del coefficiente di attrito che determina l'angolo limite per lo slittamento.

Molto chiaro, grazie!