70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE

[nace26]

Allora ci penserò su
Tu invece come hai fatto primo e secondo punto? Sarebbe interessante vedere più procedimenti!

[Flaffo]

Il raggio dell'afelio è:

Dove e indica l'eccentricità.
Ma la distanza massima è anche 7R quindi:

Il punto di lancio si trova sul "latus rectum" dell'ellisse, ovvero sulla retta perpendicolare all'asse focale e passante per il fuoco. Se lavori con l'equazione dell'ellisse trovi che questo misura:

E dato che questo, a sua volta, è uguale al raggio terrestre:

Dividendo le due equazioni otteniamo l'eccentricità e:

Sostituendo troviamo a:

Per la conservazione dell'energia:

E sostituendo si trova la velocità.. lo stesso per la velocità minima, ma al posto di R si mette la distanza all'afelio.

[arna1998]

Non puoi usare quella formula perché sai dicendo che il momento angolare si deve conservare rispetto ad un asse passante per il centro della Terra che, tuttavia, non coincide con il centro dell'orbita (ellittica) del proiettile (si trova in un fuoco). Quindi noti che la forza gravitazionale e il 'raggio vettore' non sono paralleli... esiste quindi un momento che modifica il momento angolare.. Se vuoi essere masochista, quindi, prova a considerare il momento angolare rispetto al centro dell'ellisse, ma esiste un metodo MOLTO più semplice

Ho ricontrollato i conti sull'angolo, e ora concordo con nace (ho invertito un seno con un coseno ). ll momento angolare si conserva per l'asse passante per il centro della terra e perpendicolare all'orbita, dato che la forza gravitazionale è sempre diretta lungo il raggio-vettore, quindi non c'è momento. Non capisco perché parli del centro dell'ellisse

Per quanto riguarda il punto 3, non servono le dimensioni del proiettile ? Probabilmente non ho capito io...

Punto 4:
Usiamo la seconda legge di Keplero: Il proiettile spazza aree uguali in tempi uguali.. Traducendo in formule:
dove è il tempo di volo, il periodo, l'area spazzata dal proiettile e l'area dell'ellisse.

Per la terza legge di Keplero:

L'area dell'ellisse è . Il semiasse minore è . Calcolando .

Ora non ci resta che calcolare l'area spazzata dal proiettile. La formula magica(magica=presa da internet ) per l'area di un segmento ellittico è:

L'area spazzata dal proiettile è la differenza tra l'area dell'ellisse e quella del segmento ellittico partenza-arrivo-perielio. Abbiamo quindi :

A questo punto basta fare:
che non scrivo in forma completa per ovvi motivi
Cercando un valore numerico:


Sicuramente ci sarà qualche errore nei conti, ma spero che l'idea non sia da buttare

[Flaffo]

Il tempo è sbagliato, però è giusto considerare il rapporto delle aree..
Nel punto 3. mi sono dimenticato il raggio della sfera, adesso modifico.
Per quanto riguarda l'angolo, invece, non sono sicuro perché non funzioni la conservazione del momento angolare.. forse perché stai considerando un angolo rispetto ad una circonferenza.. appena mi viene in mente qualcosa ve lo dico

[CaptainJohnCabot]

Ah nace mi ha battuto sul tempo con i primi due punti... Provo il tutto per tutto con il bonus
Premetto che anche a me l'angolo viene 40,6 gradi, anche se ho utilizzato metodi meno sofisticati rispetto al momento angolare (=Geogebra, link a fine soluzione ).

Come ha detto arna il trucco è usare la terza legge di Keplero e poi la seconda.

Dalla terza legge di Keplero:



Dalla seconda legge di Keplero sappiamo invece che la velocità areolare è costante quindi:

, quindi possiamo considerare le velocità areolari medie.

Si considera l'ellisse di equazione dove e , che rappresenta la traiettoria del proiettile.

Siano l'area di un quarto di ellisse e l'area di metà della parte di orbita non percorsa; si ha:



Si calcolano ora , e :

;
con ;

Allora dato che il tempo di volo si ha:



Da cui:



Sostituendo, il risultato numerico viene:

https://www.geogebra.org/m/uSTMqH53?doneurl=%2Fjohncabot

Ho messo per il risultato finale a causa delle approssimazioni che ho fatto per il calcolo degli integrali e la costruzione dell'ellisse, spero che il risultato non sia sbagliato di troppo e che non ci siano errori concettuali

[Flaffo]

Entro le approssimazioni, diciamo che è giusto. Comunque esistono modi più belli di fare questo problema che sparando integrali su integrali e ancora integrali (che solo Wolfram sa risolvere)

[Flaffo]

La staffetta è tua CaptainJohnCabot. Comunque continuate a provare con l'angolo..

[CaptainJohnCabot]

Ok se riesco posto il problema stasera, altrimenti comunque entro domani

Per Flaffo
Per quanto riguarda l'angolo vedi se riesci a visualizzare l'allegato alla mia soluzione, così almeno ci confermi se abbiamo capito com'è questo benedetto angolo (anche perché viene a tutti uguale ).

Rimane comunque il punto sulla luminosità da risolvere . Vediamo di eliminarlo prima di continuare la staffetta

[nace26]

Mi è tornato in mente questo problema e la questione ancora aperta dell'angolo di lancio... Siccome è passato un po' di tempo, @Flaffo potresti spiegare come andava risolto?

E già che ci siamo anche un piccolo hint per la luminosità che non so come calcolare

[Flaffo]

Riguardo all'angolo di lancio, comincio a pensare che le soluzioni ufficiali delle IOAA, da cui ho preso il problema, siano sbagliate. Effettivamente con la conservazione del momento angolare l'angolo dovrebbe venire giusto.. Le soluzioni ufficiali si basano su un ragionamento geometrico, però nel farlo, da quanto ho capito, partono da un presupposto sbagliato.

La luminosità, invece, è una grandezza che si esprime in magnitudini e vale la formula:



Dove e indicano le magnitudini di due oggetti e e indicano i rispettivi flussi (potenza per unità di superficie). L'idea base per calcolare il flusso è confrontare l'oggetto con un corpo i cui parametri siano noti e.g. Sole, Luna..

Invece per calcolare il tempo, il risultato veniva pulitissimo con un doppio integrale o, in alternativa, si poteva approssimare in qualche modo l'orbita (data l'alta eccentricità) e, con semplici considerazioni geometriche, si arrivava al risultato.