Carica sospesa

[bacco]

Ciao! Vi propongo questo problema:

C'è una lastra di metallo collocata orizzontalmente nel piano (non importa quanto la lastra sia sottile, diciamo che si estende in , con qualsiasi), avente estensione infinita, e ancorata nella sua posizione. Il campo gravitazionale è .
Dispongo di una carica puntiforme di massa : affermo che, se la pongo nel semispazio ad una certa distanza dalla lastra metallica, la carica resta in equilibrio.

Determinare , e dire se l'equilibrio è stabile o instabile.

[Falco5x]

Un esercizio di "specchiata" bellezza...

[CoNVeRGe.]

e che si deve fare? xD

[bacco]

Ok Falco5x, è utile farlo senza sapere già la risposta...

A tutti gli altri: vi garantisco che si può fare senza sapere assolutamente nulla oltre quello che praticamente tutti sanno alle olimpiadi, basta ragionare attentamente. Buon lavoro!

[Alex90]

ma la densità di carica superficiale della lastra è nota?

[bacco]

No, non lo è.

[Davide90]

Ho provato un po' a pensarci... Le strade possibili sono 2:
- Poniamo wlog che la carica q sia positiva. La lastra di metallo è caricata per induzione, e il campo generato dalla faccia negativa, in quanto più vicino, è maggiore del campo generato dalla lastra positiva; dunque la forza elettrica uguaglia il peso.
Problema: è ignota la densità di carica superficiale... come la troviamo? Problema 2: la fantomatica differenza tra i due campi esiste? e come si può calcolare?
- Ragionando più a fondo, mi sembra che questo problema sia invariante per riduzioni o ingrandimenti di scala, dal momento che la carica è puntiforme. Forse varia il campo elettrico per variazioni di scala?

Grazie per le risposte

[Falco5x]

...Poniamo wlog che la carica q sia positiva. La lastra di metallo è caricata per induzione, e il campo generato dalla faccia negativa, in quanto più vicino, è maggiore del campo generato dalla lastra positiva; dunque la forza elettrica uguaglia il peso...

Se la carica q è positiva, allora sulla lastra puoi immaginare che nelle immediate vicinanze ci sia una carica distribuita negativa e basta. Infatti le cariche positive della lastra non possono addensarsi sull'altra faccia, visto che dall'altra parte non c'è un'altra carica ad attrarle... le cariche positive della lastra devi immaginare che siano tutte fuggite all'infinito. Dunque c'è una carica q puntiforme affacciata a una lastra carica di segno opposto, con densità di carica variabile in funzione della distanza dalla carica q. Insomma sulla lastra c'è una densità a simmetria circolare, decrescente col crescere della distanza da q.
Così ragionando però non si va molto avanti. Occorre fare un'osservazione inerente le proprietà dei conduttori.

[Paolo90]

Il campo magnetico sulla superficie del conduttore e' sempre perpendicolare alla superficie, quindi sul conduttore ci sara' sempre un campo la cui componente orizzontale e' opposta a quella generata dalla carica.

[Falco5x]

Il campo magnetico sulla superficie del conduttore e' sempre perpendicolare alla superficie, quindi sul conduttore ci sara' sempre un campo la cui componente orizzontale e' opposta a quella generata dalla carica.

Volevi dire il campo elettrico, naturalmente.
Giusto. E quindi...?